电磁学乱七八糟的符号(二)

@(study)[Maxe, markdown_study, LaTex_study]
author:何伟宝

前言:第五章开始因为要大量考虑介质的各种媒质常数,所以一定要分清公式的使用范围!
还有特定关系的前提和假设

所以针对第五章,分开两篇写

电磁学乱七八糟的符号(二)

chapter5电磁波的传播(TEM,理想介质)

波动方程

因为这里和上一篇blog有出入,重写一次:

\nabla^{2} \vec{E} (\vec{r}, t) - μ ε \frac{\partial^{2} \vec{E} (\vec{r}, t)}{\partial t^{2}} = - μ σ \frac{\partial \vec{E} (\vec{r}, t)}{\partial t}

$\nabla^2 \vec E(\vec r,t)-\mu\varepsilon\frac{\partial^2\vec E(\vec r,t)}{\partial t^2}=- \mu\sigma \frac{\partial \vec E(\vec r,t)}{\partial t}$

\nabla^{2} \vec{H} (\vec{r}, t) - μ ε \frac{\partial^{2} \vec{H} (\vec{r}, t)}{\partial t^{2}} = - μ σ \frac{\partial \vec{H} (\vec{r}, t)}{\partial t}

$\nabla^2 \vec H(\vec r,t)-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 \vec H(\vec r,t)}{\partial t^2}=- \mu\sigma\frac{\partial \vec H(\vec r,t)}{\partial t}$
由于

\partial E 和 \partial H

$\partial E 和\partial H$ 极其难算,所以上式为 一般波动方程

在理想介质中( $\sigma=0$ )(空气)下,一般波动方程退化为齐次非含源项波动方程:

\nabla^{2} \vec{E} (\vec{r}, t) - μ ε \frac{\partial^{2} \vec{E} (\vec{r}, t)}{\partial t^{2}} = 0

$\nabla^2 \vec E(\vec r,t)-\mu\varepsilon\frac{\partial^2\vec E(\vec r,t)}{\partial t^2}=0$

扫描二维码关注公众号，回复： 3083351 查看本文章

\nabla^{2} \vec{H} (\vec{r}, t) - μ ε \frac{\partial^{2} \vec{H} (\vec{r}, t)}{\partial t^{2}} = 0

$\nabla^2 \vec H(\vec r,t)-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 \vec H(\vec r,t)}{\partial t^2}=0$

在真空中有:

光速c

\nabla^{2} \vec{E} (\vec{r}, t) - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \vec{E} (\vec{r}, t)}{\partial t^{2}} = 0

$\nabla^2 \vec E(\vec r,t)-\frac1 {c^2}\frac{\partial^2\vec E(\vec r,t)}{\partial t^2}=0$

\nabla^{2} \vec{H} (\vec{r}, t) - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \vec{H} (\vec{r}, t)}{\partial t^{2}} = 0

$\nabla^2 \vec H(\vec r,t)-\frac1 {c^2}\frac{\partial^2 \vec H(\vec r,t)}{\partial t^2}=0$
其中光速c:

c = \frac{1}{\sqrt{μ_{0} ε_{0}}} \approx 3 \times 10^{- 8} (m / s)

$c=\frac1 {\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \approx 3 \times 10^{-8}(m/s)$

取 齐次非含源项波动方程复数化有:

波数&&相位常数k(同一个东西)

\nabla^{2} \vec{E} (\vec{r}, t) - k^{2} \vec{E} (\vec{r}) = 0

$\nabla^2 \vec E(\vec r,t)-k^2\vec E(\vec r)=0$

\nabla^{2} \vec{H} (\vec{r}, t) - k^{2} \vec{H} (\vec{r}) = 0

$\nabla^2 \vec H(\vec r,t)-k^2\vec H(\vec r)=0$

其中波数:

k = ω \sqrt{μ ε} = \frac{ω}{v}

$k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}=\frac \omega v$

由TEM的瞬时通解可以知道,k表示波传播单位距离的空间相位变化,又称相位常数:

k = \frac{2 π}{λ}

$k=\frac {2\pi}{\lambda}$

TEM波动方程

引入平面电磁波(TEM)约束:

{\begin{cases} E_{z} = 0, H_{z} = 0 在 z = c 处 \\ \frac{\partial}{\partial x} = 0, \frac{\partial}{\partial y} = 0 \end{cases}

$\begin{cases} E_z=0,H_z=0 \quad 在z=c处\\ \frac \partial{\partial x}=0 ,\frac \partial{\partial y}=0 \ \end{cases}$
代入波动方程可得到:

\frac{d^{2} E_{x}}{d z^{2}} + k^{2} E_{x} = 0

$\frac {d^2 E_x}{dz^2}+k^2 E_x =0$

\frac{d^{2} H_{y}}{d z^{2}} + k^{2} H_{y} = 0

$\frac {d^2 H_y}{dz^2}+k^2 H_y =0$
通解形式(瞬时):

E_{x} (z, t) = R e [E_{x} (z) e^{j ω t}] = E_{x 0}^{+} c o s (ω t - k z)

$E_x(z,t)=Re[E_x(z)e^{j\omega t}]=E^+_{x0} cos(\omega t -kz)$

角频率 $\omega$

角频率: $\omega$ 表示单位时间内时间相位变化

ω T = 2 π f = \frac{1}{T} = \frac{ω}{2 π}

$\omega T=2\pi \\f=\frac1 T =\frac \omega{2\pi}$

相速 $v_p$

相速 $v_p$ 表示等相面移动的速度:

v_{p} = \frac{d z}{d t} = \frac{ω}{k} = \frac{1}{\sqrt{μ ε}}

$v_p=\frac {dz}{dt}=\frac \omega k = \frac1 {\sqrt{\mu \varepsilon}}$

传播特性(计算用)

若已知E,求H,有:

E (z) = a_{x} E_{x 0}^{+} e^{- j k z}

$E(z)=a_x E^+_{x0}e^{-jkz}$

H_{y} (z, t) = \frac{1}{η} E_{x 0}^{+} c o s (ω t - k z)

$H_y(z,t)=\frac 1\eta E^+_{x0}cos(\omega t-kz)$

波阻抗 $\eta$

重写, $\eta$ 又称本征阻抗或特性阻抗,单位是 $\Omega$

η = \sqrt{\frac{μ}{ε}}

$\eta=\sqrt{\frac \mu\varepsilon}$

能速 $v_e$

在均匀平面电磁波中有能速:

\frac{{\vec{S}}_{a v}}{ω_{a v}} = {\vec{a}}_{z} \frac{1}{\sqrt{ε μ}} = v_{e}

$\frac {\vec S_{av}}{\omega_{av}}=\vec a_z \frac 1{\sqrt{\varepsilon\mu}} =v_e$
其中

ω_{a v}

$\omega_{av}$ 表示时均电磁能流密度,变形为

S_{a v} = v_{a v} ω_{a v}

$S_{av}=v_{av}\omega_{av}$ 则有:
空间某点的时均能流密度是以速度

v_{e}

$v_e$ 运动的时均能量密度

ω_{a v}

$\omega_{av}$ ,所以称

v_{e}

$v_e$ 为能速

特别地,在理想介质中, $v_e=v_{p}$

平面电磁波,导电媒质

在这里考虑的重点在于 $\sigma \neq 0$ 所以波动方程不能像上面一样化简
由于这一节概念多,会配以理解

TEM波动方程

回归最原始的波动方程:

\nabla^{2} \vec{E} (\vec{r}, t) - μ ε \frac{\partial^{2} \vec{E} (\vec{r}, t)}{\partial t^{2}} = - μ σ \frac{\partial \vec{E} (\vec{r}, t)}{\partial t}

$\nabla^2 \vec E(\vec r,t)-\mu\varepsilon\frac{\partial^2\vec E(\vec r,t)}{\partial t^2}=- \mu\sigma \frac{\partial \vec E(\vec r,t)}{\partial t}$

\nabla^{2} \vec{H} (\vec{r}, t) - μ ε \frac{\partial^{2} \vec{H} (\vec{r}, t)}{\partial t^{2}} = - μ σ \frac{\partial \vec{H} (\vec{r}, t)}{\partial t}

$\nabla^2 \vec H(\vec r,t)-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 \vec H(\vec r,t)}{\partial t^2}=- \mu\sigma\frac{\partial \vec H(\vec r,t)}{\partial t}$

用复数形式表示后,用类理想介质的齐次方程表示为:

\frac{d^{2} E_{x}}{d z^{2}} + {\vec{k}}_{c}^{2} E_{x} = 0

$\frac {d^2 E_x}{dz^2}+\vec k^2_c E_x =0$

\frac{d^{2} H_{y}}{d z^{2}} + {\vec{k}}_{c}^{2} H_{y} = 0

$\frac {d^2 H_y}{dz^2}+\vec k^2_c H_y =0$
注意到,因为右边的是一次项,微分下来会让k变成一个复数

复波数 $k_c$ &&复电容率 $\varepsilon_c$

k_{c} = ω \sqrt{μ ε_{c}}, ε_{c} = (ε - j \frac{σ}{ω}) = ε^{‘} - j ε^{‘ ‘}

$k_c=\omega \sqrt{\mu \varepsilon_c} , \varepsilon_c = (\varepsilon - j\frac \sigma\omega)=\varepsilon^` -j\varepsilon^{``}$
由于复电容率的更新,导致理想介质中的很多参数都复数化了,所以会有新的拓展

复传播常数 $\gamma$ &&衰减常数 $\alpha$ &&相位常数 $\beta$

γ = j k_{c} = ω \sqrt{μ ε_{c}} = α + j β

$\gamma=jk_c=\omega \sqrt{\mu \varepsilon_c}=\alpha +j\beta$
其中:

α = ω \sqrt{\frac{μ ε}{2} [\sqrt{1 + (\frac{σ}{ω ε})^{2}} - 1]}

$\alpha=\omega\sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{2}[\sqrt{1+(\frac {\sigma}{\omega\varepsilon})^2}-1]}$

β = ω \sqrt{\frac{μ ε}{2} [\sqrt{1 + (\frac{σ}{ω ε})^{2}} + 1]}

$\beta=\omega\sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{2}[\sqrt{1+(\frac {\sigma}{\omega\varepsilon})^2}+1]}$
是有点复杂,但是到后面的良导体良介质会化简!
注意到这里的相位常数不再等于波数了.(虽然后面用起来还是很像的)

对于TEM来说,波动方程可退化为:

\frac{d^{2} E_{x}}{d z^{2}} - γ^{2} E_{x} = 0

$\frac {d^2 E_x}{dz^2}-\gamma^2 E_x =0$

\frac{d^{2} H_{y}}{d z^{2}} - γ^{2} H_{y} = 0

$\frac {d^2 H_y}{dz^2}-\gamma^2 H_y =0$
简单的微分方程求解得:

E (z) = {\vec{E}}_{x 0}^{+} e^{- γ z} = {\vec{E}}_{x 0}^{+} e^{- α z} e^{- j β z}

$E(z)=\vec E^+_{x0}e^{-\gamma z}=\vec E^+_{x0}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}$

H_{y} (z, t) = {\frac{1}{η}}_{c} {\vec{E}}_{x 0}^{+} e^{- γ z} = {\frac{1}{η}}_{c} {\vec{E}}_{x 0}^{+} e^{- α z} e^{- j β z} = \frac{1}{| η_{c} |} {\vec{E}}_{x 0}^{+} e^{- α z} e^{- j β z + ϕ}

$H_y(z,t)=\frac 1\eta_c \vec E^+_{x0}e^{-\gamma z}=\frac 1\eta_c \vec E^+_{x0}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z} = \frac 1 {|\eta_c|} \vec E^+_{x0}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z+\phi}$

复波阻抗&&复本征阻抗 $\eta_c$

η_{c} = \sqrt{\frac{μ}{ε_{c}}} = | η_{c} | e^{j ϕ}

$\eta_c=\sqrt{\frac \mu{\varepsilon_c}}=|\eta_c|e^{j\phi}$
其中:

| η_{c} | = (\frac{μ}{ε})^{\frac{1}{2}} [1 + (\frac{σ}{ω ε})^{2}]^{- \frac{1}{4}}

$|\eta_c|=(\frac \mu\varepsilon)^{\frac 12}[1+(\frac {\sigma}{\omega \varepsilon})^2]^{- \frac14}$

ϕ = \frac{1}{2} a r c t a n (\frac{σ}{ω ε})

$\phi=\frac 12 arctan(\frac \sigma{\omega\varepsilon})$

相速 $v_p$ &&色散波

v_{p} = \frac{ω}{β} = \frac{1}{ε_{c} μ} = \frac{1}{\sqrt{ε μ (1 - j \frac{σ}{ω ε})}}

$v_p=\frac \omega\beta=\frac1 {\varepsilon_c \mu}=\frac1 {\sqrt{\varepsilon \mu(1-j\frac {\sigma}{\omega\varepsilon})}}$
可以看出这里的相速会和频率有关,所以这种波称为色散波,相应导电媒质称为 色散媒质

良导体和良介质的判定

\frac{\vec{J}}{{\vec{J}}_{d}} \sim \frac{σ}{ω ε} {\begin{cases} ≫ 1, 良 导 体 \\ ≪ 1, 良 介 质 \end{cases}

$\frac{\vec J}{\vec J_d} \sim \frac{\sigma}{\omega\varepsilon} \begin{cases} \gg 1,\quad 良导体 \\ \ll 1,\quad 良介质 \end{cases}$

平面电磁波,良导体

传播常数 $\gamma$

γ = j k_{c} = \sqrt{ε μ (1 - j \frac{σ}{ω ε})} \approx j ω \sqrt{\frac{μ σ}{j ω}} = \frac{1 + j}{\sqrt{2}} \sqrt{ω μ σ}

$\gamma=jk_c=\sqrt{\varepsilon \mu(1-j\frac {\sigma}{\omega\varepsilon})} \approx j\omega\sqrt{\frac{\mu\sigma}{j\omega}}=\frac{1+j}{\sqrt2} \sqrt{\omega \mu\sigma}$

衰减常数&&相位常数

α \approx β \approx \sqrt{π f μ σ} = \sqrt{\frac{ω μ σ}{2}}

$\alpha \approx \beta \approx \sqrt{\pi f \mu\sigma}=\sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}}$

复波阻抗

η_{c} = \sqrt{\frac{μ}{ε_{c}}} = \sqrt{\frac{μ}{ε} (\frac{1}{1 - j \frac{σ}{ω ε}})} \approx \sqrt{\frac{j ω μ}{σ}} = (1 + j) \sqrt{\frac{π f μ}{σ}} = e^{j \frac{π}{4}} \sqrt{\frac{2 π f μ}{σ}}

$\eta_c =\sqrt{\frac \mu{\varepsilon_c}}=\sqrt{\frac \mu\varepsilon (\frac1 {1-j\frac \sigma{\omega\varepsilon}})} \approx \sqrt{\frac {j\omega\mu}{\sigma}}=(1+j)\sqrt{\frac {\pi f \mu}{\sigma}}=e^{j\frac\pi 4}\sqrt{\frac {2\pi f \mu}{\sigma}}$

相速

v_{p} = \frac{ω}{β} = \frac{1}{\sqrt{μ ε_{c}}} = \frac{1}{\sqrt{μ ε (1 - j \frac{σ}{ω ε})}} \approx \sqrt{\frac{2 ω}{μ σ}}

$v_p=\frac \omega\beta=\frac1{\sqrt{\mu{\varepsilon_c}}}=\frac1{\sqrt{\mu{\varepsilon}(1-j\frac{\sigma}{\omega\varepsilon})}} \approx \sqrt{\frac {2\omega}{\mu\sigma}}$

趋肤深度 $\delta$

由上述可知:

a \sim f, μ, σ

$a\sim f,\mu,\sigma$
所以在良导体中,电磁波很快就衰减完了,电磁波仅局限于道题表面附近区域,称为趋肤效应,故有趋肤深度

δ

$\delta$ :

δ = \frac{1}{a} = \sqrt{\frac{2}{ω μ σ}} = \frac{1}{\sqrt{π f μ σ}}

$\delta =\frac1a =\sqrt{\frac2 {\omega\mu\sigma}}=\frac 1{\sqrt{\pi f \mu\sigma}}$
在良导体中:

δ = \frac{1}{β} = \frac{λ}{2 π}

$\delta=\frac1\beta=\frac\lambda {2\pi}$

表面阻抗和表面电抗

η_{c} = R_{S} + j X_{S} \approx (1 + j) \sqrt{\frac{π f μ}{σ}}

$\eta_c=R_S+jX_S \approx (1+j)\sqrt{\frac {\pi f \mu}{\sigma}}$
其中

R_{S}

$R_S$ 表面阻抗和

X_{S}

$X_S$ 表面电抗,相应

Z_{S}

$Z_S$ 称为表面阻抗,所以有:

R_{S} = X_{S} = \sqrt{\frac{π f μ}{σ}} = \frac{1}{σ δ}

$R_S=X_S=\sqrt{\frac{\pi f \mu}{\sigma}}=\frac1{\sigma\delta}$

平面电磁波,良介质

因为前面就讲过理想介质,所以这个没多少

传播常数

γ = \sqrt{ε μ (1 - j \frac{σ}{ω ε})} \approx j ω \sqrt{μ σ} = (1 - j \frac{σ}{2 ω ε})

$\gamma=\sqrt{\varepsilon \mu(1-j\frac {\sigma}{\omega\varepsilon})} \approx j\omega\sqrt{\mu\sigma}=(1-j\frac{\sigma}{2\omega\varepsilon})$

衰减常数

α \approx \frac{σ}{2} \sqrt{\frac{μ}{ε}}

$\alpha \approx \frac\sigma 2\sqrt{\frac \mu\varepsilon}$

相位常数

β \approx ω \sqrt{μ ε}

$\beta \approx \omega \sqrt{\mu\varepsilon}$

复波阻抗

η_{c} = \sqrt{\frac{μ}{ε_{c}}} = \sqrt{\frac{μ}{ε} (\frac{1}{1 - j \frac{σ}{ω ε}})} \approx \sqrt{\frac{μ}{ε}} (1 + j \frac{σ}{2 ω ε})

$\eta_c =\sqrt{\frac \mu{\varepsilon_c}}=\sqrt{\frac \mu\varepsilon (\frac1 {1-j\frac \sigma{\omega\varepsilon}})} \approx \sqrt{\frac\mu\varepsilon}(1+j\frac{\sigma}{2\omega\varepsilon})$

任意方向传播的均匀平面电磁波

波数矢量&&位置矢量

\vec{E} (\vec{r}) = {\vec{E}}_{0}^{+} e^{- j \vec{k} ∙ \vec{r}} = {\vec{E}}_{0}^{+} e^{- j k {\vec{a}}_{n} ∙ \vec{r}}

$\vec E(\vec r)=\vec E^+_0 e^{-j\vec k\bullet \vec r}=\vec E^+_0e^{-j k\vec a_n\bullet \vec r}$
其中k为波数矢量,又称 传播矢量,r称为位置矢量

平面电磁波,极化

以合成波电场强度与x轴夹角 $\alpha$ 分类:

线极化波

α = a r c t a n (\frac{E_{y 0}}{E_{x 0}}) = C

$\alpha =arctan(\frac {E_{y0}}{E_{x0}})=C$

圆极化波

α = a r c t a n (\frac{E_{y 0}}{E_{x 0}}) = a r c t a n (\frac{\mp E_{0} s i n ω t}{E_{0} c o s ω t}) = a r c t a n (\mp t a n ω t) = \mp ω t

$\alpha =arctan(\frac {E_{y0}}{E_{x0}})= arctan(\frac {\mp E_{0}sin\omega t}{E_{0}cos\omega t})=arctan(\mp tan\omega t)=\mp \omega t$

椭圆极化波

α = a r c t a n (\mp \frac{E_{y 0}}{E_{x 0}} t a n ω t) \neq \mp ω t

$\alpha =arctan (\mp \frac {E_{y0}}{E_{x0}}tan \omega t) \neq \mp \omega t$

方向用 $\alpha$ 来判断也是可以的,在z正向下, $alpha$ 为负右旋,为正左旋,其他类似