【JZOJ3059】【NOIP2012模拟10.26】雕塑【数论】【容斥】

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题目大意：

题目链接：https://jzoj.net/senior/#main/show/3059
求 $n\times n$含 $m$个障碍网格中选择 $n$个格子，使得任意两个格子不在同一行、同一列的方案数。

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思路：

由于 $m$只有 $10$，可以考虑用总方案数 $-$放在障碍上的方案数。
总方案数很明显是 $n!$
因为第一行有 $n$个格子可以选，选择其中一个后，第二行就有 $n-1$个格子可选，第三行就有 $n-2$个可选，一直到最后一行只有 $1$个可选。总方案数就是 $n\times (n-1)\times ...\times 1=n!$
然后我们会发现总方案数里面包含了选择 $1$个障碍的方案数。所以我们再减去选择 $1$个的方案数。此时我们会发现，总方案数里面包含了选择 $2$个方案数，减去选择一个的方案数后，减去的也包含了选择 $2$个障碍的方案数。相抵消，就等于没有减去选择 $2$个障碍的方案数。于是我们就要减去选择 $2$个的方案数。然后加上选择 $3$个，减去选择 $4$个。。。
用人话说，设 $s_i$表示在 $n\times n$网格中选择 $n$个格子，其中有 $i$个格子是障碍的情况数量。那么答案就是
$\left\{\begin{matrix}n!-s_1+s_2-s_3+s_4-...-s_{n-1}+s_n(n\%2==0) \\n!-s_1+s_2-s_3+s_4-...+s_{n-1}-s_n(n\%2==1)\end{matrix}\right.$
那么如何求 $s_i?$
很明显， $s_i=$选择 $i$个障碍的方案数 $\times$选择 $m-i$个非障碍的方案数。
选择 $i$个障碍的方案数可以用搜索求。因为 $m$只有 $10$，可以 $2^m$判断是否选择则个障碍。
那么选择 $m-i$个非障碍的方案数其实就是要我们求在 $(m-i)\times(m-i)$的格子里选择 $m$个格子的方案数，自然就是 $m!$了。
$0\sim 20$的阶乘要提前预处理，时间复杂度 $O(m\times 2^m)$。

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代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;

int n,m,x[15],y[15];
ll ans,num[25],s;
bool used[3][25];

void dfs(int i,int cnt,int sum)
//i表示处理到第i个障碍，cnt表示选择了多少个障碍,sum表示需要选择的总障碍数
{
    if (cnt==sum)  //选择完毕
    {
        s++;  //方案数
        return;
    }
    if (i>m) return;
    if (!used[1][x[i]]&&!used[2][y[i]])  //这一行和这一列都没有被选择
    {
        used[1][x[i]]=used[2][y[i]]=1;
        dfs(i+1,cnt+1,sum);
        used[1][x[i]]=used[2][y[i]]=0;
    }
    dfs(i+1,cnt,sum);
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
    num[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)  //预处理阶乘
        num[i]=i*num[i-1];
    ans=num[n];
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        s=0;
        dfs(1,0,i);
        if (!s) break;
        if (i&1) ans-=s*num[n-i];
            else ans+=s*num[n-i]; 
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}