约瑟夫环问题与推导

约瑟夫环问题的原来描述为，设有编号为1，2，……，n的n(n>0)个人围成一个圈，从第1个人开始报数，报到m时停止报数，报m的人出圈，再从他的下一个人起重新报数，报到m时停止报数，报m的出圈，……，如此下去，直到所有人全部出圈为止。当任意给定n和m后，设计算法求n个人出圈的次序。稍微简化一下。

问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

思路：容易想到的就是用环链表来做，构建一个环链表，每个结点的编号为0, 1, ...... n-1。每次从当前位置向前移动m-1步，然后删除这个结点。最后剩下的结点就是胜利者。给出两种方法实现，一种是自定义链表操作，另一种用是STL库的单链表。不难发现，用STL库可以提高编写速度。

struct ListNode
{
	int num;        //编号
	ListNode *next; //下一个
	ListNode(int n = 0, ListNode *p = NULL) 
	{ num = n; next = p;}
};
 
//自定义链表实现
int JosephusProblem_Solution1(int n, int m)
{
	if(n < 1 || m < 1)
		return -1;
 
	ListNode *pHead = new ListNode(); //头结点
	ListNode *pCurrentNode = pHead;   //当前结点
	ListNode *pLastNode = NULL;       //前一个结点
	unsigned i;
 
	//构造环链表
	for(i = 1; i < n; i++)
	{
		pCurrentNode->next = new ListNode(i);
		pCurrentNode = pCurrentNode->next;
	}
	pCurrentNode->next = pHead;
 
	//循环遍历
	pLastNode = pCurrentNode;
	pCurrentNode = pHead;
 
	while(pCurrentNode->next != pCurrentNode)
	{
		//前进m - 1步
		for(i = 0; i < m-1; i++)
		{
			pLastNode = pCurrentNode;
			pCurrentNode = pCurrentNode->next;
		}
		//删除报到m - 1的数
		pLastNode->next = pCurrentNode->next;
		delete pCurrentNode;
		pCurrentNode = pLastNode->next;
	}
	//释放空间
	int result = pCurrentNode->num;
	delete pCurrentNode;
 
	return result;
}

class Solution {
public:
    int LastRemaining_Solution(int n, int m)
    {
        list<int> ilist;
        if(n<1 || m < 1)
            return -1;
        for(int i=0;i<n;i++){
            ilist.push_back(i);
        }
        list<int>::iterator iter=ilist.begin();
        while(ilist.size()>1){
            for(int i=1;i<m;i++){
                iter++;
                if(iter==ilist.end()){
                    iter=ilist.begin();
                }
            }
            list<int>::iterator next=++iter;
            if(next==ilist.end()){
                next=ilist.begin();
            }
            --iter;
            ilist.erase(iter);
            iter=next;
        }
        
         return *iter;
        
    }
};

上述方法的效率很低，其时间复杂度为O(mn)。当n和m很大时，很难在短时间内得出结果。不过好处就是可以给出n个人出圈的次序。只要在删除前保存一下即可。

下面利用数学推导，如果能得出一个通式，就可以利用递归、循环等手段解决。下面给出推导的过程：

（1）第一个被删除的数为 (m - 1) % n。

（2）假设第二轮的开始数字为k，那么这n - 1个数构成的约瑟夫环为k, k + 1, k + 2, k +3, .....,k - 3, k - 2。做一个简单的映射。

             k         -----> 0
             k+1    ------> 1
             k+2    ------> 2
               ...
               ...
             k-2    ------> n-2

这是一个n -1个人的问题，如果能从n - 1个人问题的解推出 n 个人问题的解，从而得到一个递推公式，那么问题就解决了。假如我们已经知道了n -1个人时，最后胜利者的编号为x，利用映射关系逆推，就可以得出n个人时，胜利者的编号为 (x + k) % n。其中k等于m % n。代入(x + k) % n <=> (x + (m % n))%n <=> (x%n + (m%n)%n)%n <=> (x%n+m%n)%n <=> (x+m)%n

（3）第二个被删除的数为(m - 1) % (n - 1)。

（4）假设第三轮的开始数字为o，那么这n - 2个数构成的约瑟夫环为o, o + 1, o + 2,......o - 3, o - 2.。继续做映射。

             o         -----> 0
             o+1    ------> 1
             o+2    ------> 2
               ...
               ...

o-2 ------> n-3

这是一个n - 2个人的问题。假设最后的胜利者为y，那么n -1个人时，胜利者为 (y + o) % (n -1 )，其中o等于m % (n -1 )。代入可得 (y+m) % (n-1)
要得到n - 1个人问题的解，只需得到n - 2个人问题的解，倒推下去。只有一个人时，胜利者就是编号0。下面给出递推式：

f [1] = 0;
f [ i ] = ( f [i -1] + m) % i; (i>1)

有了递推公式，实现就非常简单了，给出循环的两种实现方式。再次表明用标准库的便捷性。

int JosephusProblem_Solution4(int n, int m)
{
    if(n < 1 || m < 1)
        return -1;
 
    vector<int> f(n+1,0);
    for(unsigned i = 2; i <= n; i++)
        f[i] = (f[i-1] + m) % i;
 
    return f[n];
}

约瑟夫环问题与推导

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