【机器学习】逻辑回归基础知识+代码实现

1. 基本概念

逻辑回归用于二分类，将对输入的线性表示映射到0和1之间，输出为label为1的概率。

优点：实现代价低，可输出分类概率。适用于数据线性不可分。

缺点：容易欠拟合，分类精度可能不高，且仅限二分类。

使用数据类型：数值型和标称数据。

逻辑回归本质也是线性回归，但是是将线性回归映射到0/1分类上，因此逻辑回归用于分类。

2. 公式推导

单个输入样本为 $x =[1,x_1, x_2,...,x_n]$ ,第一项为1是为了直接把截距b加入到权重w矩阵中，方便计算。 $y = [y_1,y_2,...,y_n]$ 为正确的标签类别。共有m个样本。

回归函数：

$\\ \hat {y} = \sigma(wx) \\ \sigma(z) = \frac{1}{1+exp(-z)} \\\sigma(z)' = \sigma(z)(1-\sigma(z))$

属于不同类别的概率：

$\\ p(y=1|x) = \hat{y} = \sigma(wx) \\p(y=0| x) = 1-\hat{y} = 1-\sigma(wx)$

则分类正确的概率：

$p(y|x) = \hat{y}^y * (1-\hat{y})^{(1-y)}$

则对于所有样本，分类正确的最大似然估计为：

$P = \prod_{i=1}^{m}p(y^{<i>}|x^{<i>}) = \prod_{i=1}^{m} (\hat{y}^y * (1-\hat{y})^{(1-y)})$

取对数：

$J = logP =log \prod_{i=1}^{m}p(y^{<i>}|x^{<i>}) = \sum_{i=1}^{m} (ylog\hat{y} + (1-y)log(1-\hat{y}))$

即损失函数为上述对数似然函数，我们的目标是最大化对数似然函数（也可以是最小化负对数似然函数）。

已知损失函数关于w的导数为：

$\frac{\partial J}{\partial w} = x(y-\hat{y})$ （推导过程如下图）（该结果与LMS类似）

由于是最大化问题，则权重更新公式为梯度上升更新公式：

$w = w + \alpha \frac{\partial J}{\partial w}$

3. 训练细节

3.1 梯度上升 vs 随机梯度上升

梯度上升：在整个数据集（训练集）上计算一次损失函数，更新一次权重。

随机梯度上升：对于每个样本，都更新一次权重。

简单的梯度上升，由于异常点的存在可能会减缓收敛且造成数据较大的波动。因此引入随机梯度上升。

3.2 随机梯度上升改进

1) 进行多轮，即引入迭代次数。提升分类准确率。

2) 随着训练的进行，改变步长alpha（类似于深度学习里面的对学习率的自适应）。

$\alpha = \frac{4}{i+j+1} + 0.01$

初始时alpha较大，随着进行论述的增加，alpha减小。加快收敛的同时，可减缓数据的波动。

3) 每次SGA时，随机选取样本点用于计算梯度，也减缓了数据的波动。

3.3 缺失数据的处理

若对于样本数据，每个特征值缺失，解决方法有：

使用可用特征均值填补缺失特征；
使用特殊值来填补缺失特征，一般取特征值不会取到的值（比如正常特征值为整数的话，则可取-1）；
使用相似样本的均值填补缺失特征；
忽略带有缺失特征值的样本；
使用其他ML方法预测缺失值。

对于逻辑回归，

特征值缺失：一般填补缺失值为0，因为：一方面当x为0时，其对应的特征系数w不会更新，另一方面因为sigmoid（0） = 0.5，即为中性概率，不会影响任何一端的判断。

类别标签缺失：直接舍弃该条样本数据。不适用于KNN。

4. 代码实现

参考：《机器学习实战》

源码地址以及数据：https://github.com/JieruZhang/MachineLearninginAction_src

from numpy import *
import random
import matplotlib.pyplot as plt
#加在数据集
def loadDataSet():
    dataMat = []
    labelMat = []
    fr = open('testSet.txt')
    for line in fr.readlines():
        lineArr = line.strip().split()
        #为了便于截距b的计算，在数据集首尾加了一项1.0
        dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
        labelMat.append(int(lineArr[2]))
    return dataMat, labelMat

#sigmoid函数
def sigmoid(inX):
    return 1.0/(1+exp(-inX))

#梯度上升
def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
    dataMatrix = mat(dataMatIn)
    labelMat = mat(classLabels).transpose()
    m,n = shape(dataMatrix)
    alpha = 0.001#移动步长，学习率
    maxCircles = 150#迭代次数
    weights = ones((n,1))
    for k in range(maxCircles):
        h = sigmoid(dataMatrix*weights)
        #该处推导见博文
        error = labelMat-h
        weights = weights + alpha*dataMatrix.transpose()*error
    return weights

#随机梯度上升基本函数
def stoGradAscent0(dataMatrix,classLabels, numIter=150):
    m,n = shape(dataMatrix)
    alpha = 0.001
    weights = ones(n)
    for _ in range(numIter):
        for i in range(m):
            h = sigmoid(sum(dataMatrix[i]*weights))
            error = classLabels[i] - h
            weights = weights + alpha*error*dataMatrix[i]
    return weights

#随机梯度上升改进函数
#共3处改进：多轮随机梯度下降，每次更新权重是在随机选取的样本电上，步长alpha随着训练的进行逐渐减小（开始时较大）。（即自适应学习率）
def stoGradAscent1(dataMatrix, classLabels, numIter=150):
    m, n = shape(dataMatrix)
    weights = ones(n)
    for j in range(numIter):
        for i in range(m):
            alpha = 4/(1.0+i+j) + 0.01
            #随机选取计算梯度使用的样本点
            randIndex = random.randint(0,m-1)
            h = sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex]*weights))
            error = classLabels[randIndex] - h
            weights = weights + alpha*error*dataMatrix[randIndex]
    return weights

#可视化分类效果：画出决策边界
def plotBestFit(weights):
    import matplotlib.pyplot as plt
    dataMat,labelMat=loadDataSet()
    dataArr = array(dataMat)
    n = shape(dataArr)[0] 
    xcord1 = []; ycord1 = []
    xcord2 = []; ycord2 = []
    for i in range(n):
        if int(labelMat[i])== 1:
            xcord1.append(dataArr[i,1]); ycord1.append(dataArr[i,2])
        else:
            xcord2.append(dataArr[i,1]); ycord2.append(dataArr[i,2])
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)
    ax.scatter(xcord1, ycord1, s=30, c='red', marker='s')
    ax.scatter(xcord2, ycord2, s=30, c='green')
    x = arange(-3.0, 3.0, 0.1)
    y = (-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2]
    ax.plot(x, y)
    plt.xlabel('X1'); plt.ylabel('X2');
    plt.show()

#测试不同优化算法所得到的分类器分类效果
dataArr, labelMat = loadDataSet()
weights0 = gradAscent(dataArr, labelMat)
plotBestFit(weights0.getA())
weights1 = stoGradAscent0(array(dataArr), labelMat)
plotBestFit(weights1)
weights2 = stoGradAscent1(array(dataArr), labelMat)
plotBestFit(weights2)

#预测病马的死亡率
#分类
def classifyVector(inX, weights):
    prob = sigmoid(sum(inX*weights))
    if prob > 0.5:
        return 1.0
    else:
        return 0.0
    
def colicTest():
    frTrain = open('horseColicTraining.txt'); frTest = open('horseColicTest.txt')
    trainingSet = []; trainingLabels = []
    for line in frTrain.readlines():
        currLine = line.strip().split('\t')
        lineArr =[]
        for i in range(21):
            lineArr.append(float(currLine[i]))
        trainingSet.append(lineArr)
        trainingLabels.append(float(currLine[21]))
    trainWeights = stoGradAscent1(array(trainingSet), trainingLabels, 1000)
    errorCount = 0; numTestVec = 0.0
    for line in frTest.readlines():
        numTestVec += 1.0
        currLine = line.strip().split('\t')
        lineArr =[]
        for i in range(21):
            lineArr.append(float(currLine[i]))
        if int(classifyVector(array(lineArr), trainWeights))!= int(currLine[21]):
            errorCount += 1
    errorRate = (float(errorCount)/numTestVec)
    print ("the error rate of this test is: %f" % errorRate)
    return errorRate

def multiTest():
    numTests = 10; errorSum=0.0
    for k in range(numTests):
        errorSum += colicTest()
    print ("after %d iterations the average error rate is: %f" % (numTests, errorSum/float(numTests)))

multiTest()

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