唐宇迪机器学习实战——梯度下降求解逻辑回归（理论基础+源代码实现）

问题的提出

现要实现一个简单的线性回归：

我们将建立一个逻辑回归模型来预测一个学生是否被大学录取。假设你是一个大学系的管理员，你想根据两次考试的结果来决定每个申请人的录取机会。你有以前的申请人的历史数据，你可以用它作为逻辑回归的训练集。对于每一个培训例子，你有两个考试的申请人的分数和录取决定。为了做到这一点，我们将建立一个分类模型，根据考试成绩估计入学概率。

即要求我们通过一些数据集来训练电脑，能实现输入两门考试成绩从而得到是否录取的结果。 
设X1为exam1的成绩，X2为exam2的成绩，X1、X2就是我们的两个特征，我们的目标便是求得一条曲线，能最大程度拟合我们的数据点（X1、X2轴），而曲线的Y值便是我们的预测值。其实就是个立体的曲线，图例如下： 

载入数据集

我们首先载入数据集看看数据特征与数据项：

#导入数据分析的三大件
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

import os
# 相对路径 
# # 在 Windows 上，文件的路径分割符号是 '\' ，
# 在 Linux 上 是 ‘/’为了让你的代码在不同的平台上都能运行，那么你写路径的时候是写 ‘/’ 还是写 '\' 呢？
# 为了让你的代码在不同的平台上都能运行，那么你写路径的时候是写 ‘/’ 还是写 '\' 呢？
# 使用 os.sep 的话，你就不用去考虑这个了，os.sep 根据你所处的平台，自动地采用相应的分割符号
path = 'data' + os.sep + 'LogiReg_data.txt'
pdData = pd.read_csv(path, header=None, names=['Exam 1', 'Exam 2', 'Admitted'])
pdData.head()

 结果如图：

 可以看到学生有两门成绩，学校是通过两门成绩来决定是否录取。 
之后我们可以利用python的绘图包通过散点图的绘制来将数据更直接的表现出来。

#  画出正例 负例的散点图
positive = pdData[pdData['Admitted'] == 1] 
negative = pdData[pdData['Admitted'] == 0]
# 画图区域的长和宽
# fig代表绘图窗口（Figure），ax代表这个绘图窗口上的坐标系（axes）。后面的ax.xxx则是表示对ax坐标系进行xxx操作

#调用subplots函数
#指定图像分辨率、大小和长宽比例
#创建一个800*600像素、100dpi(每英寸100点)分辨率的图形
#返回一个画布对象和一个轴数组
# fig,axe=plt.subplots(figsize=(8,6),dpi=100)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10,5))
# 画散点图
ax.scatter(positive['Exam 1'], positive['Exam 2'], s=30, c='b', marker='o', label='Admitted')
ax.scatter(negative['Exam 1'], negative['Exam 2'], s=30, c='r', marker='x', label='Not Admitted')

ax.legend()
#设置X轴标记为Exam 1 Score
ax.set_xlabel('Exam 1 Score')
#设置Y轴标记为Exam 1 Score
ax.set_ylabel('Exam 2 Score')
#设置图标题
# axe.set_title("y=x**2")
#显示绘制的图片
# plt.show()

 

# 画图区域的长和宽
# fig代表绘图窗口（Figure），ax代表这个绘图窗口上的坐标系（axes）。后面的ax.xxx则是表示对ax坐标系进行xxx操作

#调用subplots函数
#指定图像分辨率、大小和长宽比例
#创建一个800*600像素、100dpi(每英寸100点)分辨率的图形
#返回一个画布对象和一个轴数组
# fig,axe=plt.subplots(figsize=(8,6),dpi=100)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10,5))

#coding=utf8
'''
matplotlib.pyplot.subplots(nrows=1, ncols=1, sharex=False, 
sharey=False, squeeze=True, subplot_kw=None, 
gridspec_kw=None, **fig_kw)
创建一个画像(figure)和一组子图(subplots)。
这个实用程序包装器可以方便地在单个调用中创建子图的公共布局，包括封闭的图形对象。
输入参数说明：
nrows,ncols：整型，可选参数，默认为1。表示子图网格(grid)的行数与列数。
sharex,sharey：布尔值或者{'none','all','row','col'}，默认：False
                    控制x(sharex)或y(sharey)轴之间的属性共享：
                        1.True或者'all'：x或y轴属性将在所有子图(subplots)中共享.
                        2.False或'none'：每个子图的x或y轴都是独立的部分
                        3.'row'：每个子图在一个x或y轴共享行(row)
                        4.'col':每个子图在一个x或y轴共享列(column)
                    当子图在x轴有一个共享列时('col'),只有底部子图的x tick标记是可视的。
                    同理，当子图在y轴有一个共享行时('row'),只有第一列子图的y tick标记是可视的。
squeeze：布尔类型，可选参数，默认：True。
                * 如果是True，额外的维度从返回的Axes(轴)对象中挤出。
                    》如果只有一个子图被构建(nrows=ncols=1)，结果是单个Axes对象作为标量被返回。
                    》对于N*1或1*N个子图，返回一个1维数组。
                    》对于N*M，N>1和M>1返回一个2维数组。
                *如果是False，不进行挤压操作：返回一个元素为Axes实例的2维数组，即使它最终是1x1。
subplot_kw:字典类型，可选参数。把字典的关键字传递给add_subplot()来创建每个子图。
gridspec_kw字典类型，可选参数。把字典的关键字传递给GridSpec构造函数创建子图放在网格里(grid)。
**fig_kw：把所有详细的关键字参数传给figure()函数
返回结果：
fig：matplotlib.figure.Figure对象
ax：Axes(轴)对象或Axes(轴)对象数组。
matplotlib.pyplot.figure(num=None, figsize=None, dpi=None, 
facecolor=None, edgecolor=None, frameon=True, 
FigureClass=<class 'matplotlib.figure.Figure'>, clear=False, **kwargs)
创建一个新的画布(figure)。
输入参数：
num：整型或者字符串，可选参数，默认：None。
            如果不提供该参数，一个新的画布(figure)将被创建而且画布数量将会增加。
            如果提供该参数，带有id的画布是已经存在的，激活该画布并返回该画布的引用。
            如果这个画布不存在，创建并返回画布实例。
            如果num是字符串，窗口标题将被设置为该图的数字。
figsize：整型元组，可选参数 ，默认：None。
                每英寸的宽度和高度。如果不提供，默认值是figure.figsize。
dpi：整型，可选参数，默认：None。每英寸像素点。如果不提供，默认是figure.dpi。
facecolor：背景色。如果不提供，默认值：figure.facecolor。
edgecolor：边界颜色。如果不提供，默认值：figure.edgecolor。
framemon：布尔类型，可选参数，默认值：True。如果是False，禁止绘制画图框。
FigureClass：源于matplotlib.figure.Figure的类。（可选）使用自定义图实例。
clear：布尔类型，可选参数，默认值：False。如果为True和figure已经存在时，这是清理掉改图。
返回值：
figure：Figure。返回的Figure实例也将被传递给后端的new_figure_manager，这允许将自定义的图类挂接到pylab接口中。 
            附加的kwarg将被传递给图形init函数。
'''
 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
#创建一个数组0-100，数据间隔是0.1
x=np.arange(0,100,0.1)
 
y=x**2
 
#调用subplots函数
#指定图像分辨率、大小和长宽比例
#创建一个800*600像素、100dpi(每英寸100点)分辨率的图形
#返回一个画布对象和一个轴数组
fig,axe=plt.subplots(figsize=(8,6),dpi=100)
 
#在axe上绘制一条抛物线，红色 点
axe.plot(x,y,"r:")
#设置y轴标记为X
axe.set_xlabel("X")
#设置x轴标记为Y
axe.set_ylabel("Y")
 
#设置图标题
axe.set_title("y=x**2")
 
#显示绘制的图片
plt.show()

 matplotlib模块学习笔记

Python有很多可视化工具，matplotlib是其中重要的一个。

matplotlib API函数都位于matplotlib.pyplot模块中，其通常的引入约定是：

import matplotlib.pyplot as plt
matplotlib的图像都位于Figure对象中，创建新的Figure方法为：
fig = plt.figure()
绘图不能直接在空Figure上，需要用add_subplot创建一个或多个subplot：

ax1 = fig.add_subplot(2,2,1)
ax2 = fig.add_subplot(2,2,2)
ax3 = fig.add_subplot(2,2,3)
参数的意思是图像是 2x2 的，当前选中的是4个subplot中的第n个

当需要创建多个subplot时，有更为简单方便的方法，参数sharex，sharey表示制定的多个subplot具有相同的X轴和Y轴：

fig, axes = plt.subplots(2,3,sharex=True,sharey = True)
调整subplot周围的间距：

plt.subplots_adjust(wspace = 0,hspace = 0)
设置绘图的颜色、线型和标记（数据点）：plot函数接收一组x和y坐标，还可以接收一个表示线型、颜色和标记的字符串缩写

ax.plot(x,y,'go--')
上面的例子中：g表示颜色，o表示标记，--表示线型，标记类型和线型必须放在颜色后面

设置刻度、标签和图例：设置x轴刻度

ax.set_xticks([0,250,500,750,1000])
设置x轴名称：

ax.set_xlabel('Stage')
设置图片标题：

ax.set_title('My first matplotlib plot')
添加图例：传入label参数

复制代码
ax.plot(randn(1000).cumsum(),'k',label = 'one')
ax.plot(randn(1000).cumsum(),'k--',label = 'two')
ax.plot(randn(1000).cumsum(),'k.',label = 'three')
ax.legend()
复制代码
最后，需要将图片显示出来：

plt.show()

python: numpy--函数 shape用法

建立一个3×3的单位矩阵e, e.shape为（3，3），表示3行3列,第一维的长度为3，第二维的长度也为3

>>> e = eye(3)
>>> e
array([[ 1.,  0.,  0.],
       [ 0.,  1.,  0.],
       [ 0.,  0.,  1.]])
>>> e.shape
(3, 3)

建立一个一维矩阵b, b.shape 为矩阵的长度

>>> b =array([1,2,3,4])
>>> b.shape
(4,)
#可以简写
>>> shape([1,2,3,4])
(4,)
>>> 

 建立一个4×2的矩阵c, c.shape[1] 为第一维的长度(也就是行数)，c.shape[0] 为第二维的长度(列数)。

>>> c = array([[1,1],[1,2],[1,3],[1,4]])
>>> c.shape
(4, 2)
>>> c.shape[0]
4
>>> c.shape[1]
2

一个单独的数值，返回值为空

>>> shape(3)
()

python: numpy--函数 as_matrix用法

zip()函数用法

zip()是Python的一个内建函数，它接受一系列可迭代的对象作为参数，将对象中对应的元素打包成一个个tuple（元组），然后返回由这些tuples组成的list（列表）。若传入参数的长度不等，则返回list的长度和参数中长度最短的对象相同。利用*号操作符，可以将list unzip（解压），看下面的例子就明白了：

1 2 3 4 5 6 7 8 9

>>> a = [1,2,3] >>> b = [4,5,6] >>> c = [4,5,6,7,8] >>> zipped = zip(a,b) [(1, 4), (2, 5), (3, 6)] >>> zip(a,c) [(1, 4), (2, 5), (3, 6)] >>> zip(*zipped) [(1, 2, 3), (4, 5, 6)]

初步求解

我们求解的线性关系一定是有参数的，因为我们有两个特征值，而我们需要通过两个特征值求得预测值，但是两个特征值对结果的影响又不尽相同，所以我们需要两个参数来度量两个特征值对结果影响程度，以及一个参数来充当偏置项（曲线会上下浮动，且偏置项对结果作用较小）： 

                                                                               θ1、θ2、θ0

所以我们的预测结果可以表示为： 

                                                       =θ0+θ1x1+θ2x2

整合之后： 

ef sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))#注意e的指数次形式的写法
#creates a vector containing 20 equally spaced values from -10 to 10
nums = np.arange(-10,10,step=1)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,4))
# ax.plot(x,y,'go--')
# 上面的例子中：g表示颜色，o表示标记，--表示线型，标记类型和线型必须放在颜色后面
ax.plot(nums,sigmoid(nums), 'r')

 

• Python 基础——range() 与 np.arange()

• range()返回的是range object，而np.arange()返回的是numpy.ndarray() 
range尽可用于迭代，而np.nrange作用远不止于此，它是一个序列，可被当做向量使用。

• range()不支持步长为小数，np.arange()支持步长为小数

• 两者都可用于迭代

• 两者都有三个参数，以第一个参数为起点，第三个参数为步长，截止到第二个参数之前的不包括第二个参数的数据序列 
  某种意义上，和STL中由迭代器组成的区间是一样的，即左闭右开的区间。[first, last)或者不加严谨地写作[first:step:last)

• range(1,5)  # range(1,5)
  tuple(range(1, 5)) # (1, 2, 3, 4)
  list(range(1, 5)) # [1, 2, 3, 4]
  r = range(1, 5)
  type(r)  # range
  for i in range(1, 5):
      print(i)
  # 1
  # 2
  # 3
  # 4
  np.arange(1, 5)  # array([1, 2, 3, 4])
  # 'float' object cannot be interpreted as an integer  range()不支持步长为小数
  # range(1, 5, .1) 
  # np.arange()支持步长为小数
  np.arange(1, 5, .5)  # array([1. , 1.5, 2. , 2.5, 3. , 3.5, 4. , 4.5])
  range(1, 5, 2) # range(1, 5, 2)
  for i in range(1, 5, 2):
         print(i)  # 1 3
  for i in np.arange(1, 5):
        print(i)# 1 2 3 4

 而所谓的逻辑回归便是将任意的输入值映射到[0,1]区间上，将我们通过线性回归得到的预测值转化为概率，完成分类任务。

初步求解

我们载入数据，大体明白了预测结果长什么样，以及值概率的转化，但我们的模型还完全没有建立起来！ 
我们知道所谓机器学习便是我们交给机器一堆数据，然后告诉它什么样的学习方式是对的（目标函数），叫它朝着这个方向走，然后还要规定每次走的步长（学习率），一口吃不了大胖子，要一步一步来（每次的迭代）。 

如同这样一个山谷，我们要达到山谷的最低点，利用梯度下降的方法，每经过一个数据点，便运行更新函数更新下一步的方向（梯度，求偏导）。 
所以我们还要做损失函数（目标函数）、更新函数。

何为损失函数？ 
我们通过X来估计Y的值，预测值可能符合真实值，也可能不符合真实值，所以我们引入损失函数来度量拟合的程度，损失函数越小代表拟合的越好。 
在此处我们暂时将损失函数视为目标函数。

关于梯度下降 
梯度下降便是在凸函数中沿着梯度下降的方向不断更新参数，一般情况下我们通过加负号实现。 
梯度下降有三种方式实现：

• 1 批量梯度下降法（Batch Gradient Descent） 
  批量梯度下降法，是梯度下降法最常用的形式，具体做法也就是在更新参数时使用所有的样本来进行更新: 

• 

• 由于我们有m个样本，这里求梯度的时候就用了所有m个样本的梯度数据。

• 2 随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent） 
  随机梯度下降法，其实和批量梯度下降法原理类似，区别在与求梯度时没有用所有的m个样本的数据，而是仅仅选取一个样本j来求梯度。对应的更新公式是：

• 

• 随机梯度下降法，和批量梯度下降法是两个极端，一个采用所有数据来梯度下降，一个用一个样本来梯度下降。自然各自的优缺点都非常突出。对于训练速度来说，随机梯度下降法由于每次仅仅采用一个样本来迭代，训练速度很快，而批量梯度下降法在样本量很大的时候，训练速度不能让人满意。对于准确度来说，随机梯度下降法用于仅仅用一个样本决定梯度方向，导致解很有可能不是最优。对于收敛速度来说，由于随机梯度下降法一次迭代一个样本，导致迭代方向变化很大，不能很快的收敛到局部最优解。 
  那么，有没有一个中庸的办法能够结合两种方法的优点呢？有！这就是小批量梯度下降法。

• 3 小批量梯度下降法（Mini-batch Gradient Descent） 
  小批量梯度下降法是批量梯度下降法和随机梯度下降法的折衷，也就是对于m个样本，我们采用x个样子来迭代。一般可以取x=10，当然根据样本的数据，可以调整这个x的值。对应的更新公式是： 

• 

 

逻辑回归

预测函数（完成值到概率的转化）： 

 将分类任务整合进去：

 

即当我们的y取值为0或1时，可以得到较为精简的式子。 
有了概率，我们便可以求似然函数了。

何为似然函数？ 
官方解释如下：

常说的概率是指给定参数后，预测即将发生的事件的可能性。而似然概率正好与这个过程相反，我们关注的量不再是事件的发生概率，而是已知发生了某些事件，我们希望知道参数应该是多少。 
我们的似然函数定义如下：  

即表示我们预测的参数满足所有样本值这一事件的概率，接下来要做的就是极大似然估计，即令参数的取值无限拟合我们的真实数据。 
我们取对数似然，此时应用梯度上升求最大值，再引入目标函数转换为梯度下降求最小值(加负号，除以样本总数，考虑整体样本)，求偏导，令其等于零。目标函数如下：  

 

 求偏导过程不再给出，结果如下： 

 

代码如下：

#导入数据分析的三大件
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

import os
# 相对路径 
# # 在 Windows 上，文件的路径分割符号是 '\' ，
# 在 Linux 上 是 ‘/’为了让你的代码在不同的平台上都能运行，那么你写路径的时候是写 ‘/’ 还是写 '\' 呢？
# 为了让你的代码在不同的平台上都能运行，那么你写路径的时候是写 ‘/’ 还是写 '\' 呢？
# 使用 os.sep 的话，你就不用去考虑这个了，os.sep 根据你所处的平台，自动地采用相应的分割符号
path = 'data' + os.sep + 'LogiReg_data.txt'
pdData = pd.read_csv(path, header=None, names=['Exam 1', 'Exam 2', 'Admitted'])
pdData.head()

 

 

#  画出正例 负例的散点图
positive = pdData[pdData['Admitted'] == 1] 
negative = pdData[pdData['Admitted'] == 0]
# 画图区域的长和宽
# fig代表绘图窗口（Figure），ax代表这个绘图窗口上的坐标系（axes）。后面的ax.xxx则是表示对ax坐标系进行xxx操作

#调用subplots函数
#指定图像分辨率、大小和长宽比例
#创建一个800*600像素、100dpi(每英寸100点)分辨率的图形
#返回一个画布对象和一个轴数组
# fig,axe=plt.subplots(figsize=(8,6),dpi=100)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10,5))
# 画散点图
ax.scatter(positive['Exam 1'], positive['Exam 2'], s=30, c='b', marker='o', label='Admitted')
ax.scatter(negative['Exam 1'], negative['Exam 2'], s=30, c='r', marker='x', label='Not Admitted')

ax.legend()
#设置X轴标记为Exam 1 Score
ax.set_xlabel('Exam 1 Score')
#设置Y轴标记为Exam 1 Score
ax.set_ylabel('Exam 2 Score')
#设置图标题
# axe.set_title("y=x**2")
#显示绘制的图片
# plt.show()

## The logistic regression
def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))#注意e的指数次形式的写法
#creates a vector containing 20 equally spaced values from -10 to 10
nums = np.arange(-10,10,step=1)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,4))
# ax.plot(x,y,'go--')
# 上面的例子中：g表示颜色，o表示标记，--表示线型，标记类型和线型必须放在颜色后面
ax.plot(nums,sigmoid(nums), 'r')

 

# 预测函数模型
def model(X, theta):
    return sigmoid(np.dot(X,theta.T))
# in a try / except structure so as not to return an error if the block si executed several times
# 给输入特征变量添加一列全1
pdData.insert(0, 'Ones', 1) 
# pdData.head()
# 打印出来是原始表格里的数据
# print(pdData)
# 将数据的Pandas表示转换为可用于进一步计算的数组
# set X (training data) and y (target variable)
# 表格转换为矩阵
orig_data = pdData.as_matrix()
# 打印出来是矩阵形式
pdData.head()

 

# 样本维度
cols = orig_data.shape[1]
X = orig_data[:,0:cols-1]
Y = orig_data[:,cols-1:cols]
# 给参数占位
theta = np.zeros([1, 3])

# 观察五个训练样本
X[:5]

 

# 平均损失 损失函数
def cost(X, Y, theta):
    left = np.multiply(-Y, np.log(model(X, theta)))
    right = np.multiply(1 - Y, np.log(1 - model(X, theta)))
    return np.sum(left - right) / (len(X))

cost(X, Y, theta)

 

# 计算梯度
def gradient(X, Y, theta):
    # 进行一个占位 初始化grad
    # 一维矩阵b, b.shape 为矩阵的长度
    grad = np.zeros(theta.shape)
    # 把H(0) - y
    error = (model(X, theta) - Y).ravel()
    for j in range(len(theta.ravel())):
        term = np.multiply(error, X[:,j])
        grad[0, j] = np.sum(term) / len(X)
        
    return grad

# Gradient descent
# 比较3中不同梯度下降方法
STOP_ITER = 0 # 
STOP_COST = 1 # 根据损失函数
STOP_GRAD = 2 # 根据梯度

def stopCriterion(type, value, threshold):
    # 设定三种不同的停止策略
    if type == STOP_ITER:   return value > threshold
    # 最近两次损失值差别不大
    elif type == STOP_COST: return abs(value[-1] - value[-2]) < threshold
    elif type == STOP_GRAD: return np.linalg.norm(value) < threshold

import numpy.random
# 数据要进行洗牌
def shuffleData(data):
    np.random.shuffle(data)
    cols = data.shape[1]
    X = data[:, 0:cols - 1]
    y = data[:, cols-1:]
    return X, y

import time
def descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    # 梯度下降求解
    init_time = time.time()
    # 迭代次数
    i = 0
    # batch
    k = 0
    X, y = shuffleData(data)
    # 计算梯度
    grad = np.zeros(theta.shape)
    # 损失值
    costs = [cost(X, y, theta)]
    
    while True:
        grad = gradient(X[k : k + batchSize], y[k : k + batchSize], theta)
        # 取batch数量个数据
        k += batchSize 
        #大于总数据
        if k >= n:
            k = 0
            # 重新洗牌
            X, y = shuffleData(data)
            # 参数更新
            theta = theta - alpha * grad
            # 计算新的损失
            costs.append(cost(X, y, theta))
            i += 1
            
            if stopType == STOP_ITER:   value = i
            elif stopType == STOP_COST: value = costs
            elif stopType == STOP_GRAD:  value = grad
            if stopCriterion(stopType, value,thresh): break
    return theta, i-1, costs, grad, time.time() - init_time

def runExpe(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
#     总数据
    n = 100
    #import pdb; pdb.set_trace();
    theta, iter, costs, grad, dur = descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha)
    name = "Original" if (data[:,1]>2).sum() > 1 else "Scaled"
    name += " data - learning rate: {} - ".format(alpha)
    if batchSize == n: strDescType = "Gradient"
    elif batchSize==1:  strDescType = "Stochastic"
    else: strDescType = "Mini-batch ({})".format(batchSize)
    name += strDescType + " descent - Stop: "
    if stopType == STOP_ITER: strStop = "{} iterations".format(thresh)
    elif stopType == STOP_COST: strStop = "costs change < {}".format(thresh)
    else: strStop = "gradient norm < {}".format(thresh)
    name += strStop
    print ("***{}\nTheta: {} - Iter: {} - Last cost: {:03.2f} - Duration: {:03.2f}s".format(
        name, theta, iter, costs[-1], dur))
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,4))
    ax.plot(np.arange(len(costs)), costs, 'r')
    ax.set_xlabel('Iterations')
    ax.set_ylabel('Cost')
    ax.set_title(name.upper() + ' - Error vs. Iteration')
    return theta

# 不同的停止策略
# 设定迭代次数
#选择的梯度下降方法是基于所有样本的
n=100 # 数据总共100行
runExpe(orig_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.000001)

# 根据损失值停止  按照损失函数的精度
# 设定阈值 1E-6, 差不多需要110 000次迭代
runExpe(orig_data, theta, n, STOP_COST, thresh=0.000001, alpha=0.001)

# 根据梯度变化停止
# 设定阈值 0.05,差不多需要40 000次迭代
runExpe(orig_data, theta, n, STOP_GRAD, thresh=0.05, alpha=0.001)

# 对比不同的梯度下降方法
# Stochastic descent
# 随机梯度下降（每次找一个样本，迭代速度快 但不一定每次朝着收敛的方向）
runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)

# 有点爆炸。。。很不稳定,再来试试把学习率调小一些
# 速度快，但稳定性差，需要很小的学习率
runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.000002)

# Mini-batch descent
# 批量梯度下降
runExpe(orig_data, theta, 64, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.001)

# 浮动仍然比较大，我们来尝试下对数据进行标准化 将数据按其属性(按列进行)减去其均值，然后除以其方差。最后得到的结果是，对每个属性/每列来说所有数据都聚集在0附近，方差值为1
from sklearn import preprocessing as pp
import numpy as np
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
# 对数据进行标准化 将数据按其属性(按列进行)减去其均值，然后除以其方差
scaled_data = orig_data.copy()

# 将每一列特征标准化为标准正太分布，注意，标准化是针对每一列而言的
scaled_data[:,1:3] = pp.scale(orig_data[:,1:3])

scaled_data[:,1:3]

 

runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_ITER, thresh = 5000, alpha = 0.001)

# 它好多了！原始数据，只能达到达到0.61，而我们得到了0.38个在这里！ 所以对数据做预处理是非常重要的
# 更多的迭代次数会使得损失下降的更多！
runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_GRAD, thresh=0.02, alpha=0.001)

# 随机梯度下降更快，但是我们需要迭代的次数也需要更多，所以还是用batch的比较合适！！！
theta = runExpe(scaled_data, theta, 1, STOP_GRAD, thresh=0.002/5, alpha=0.001)

theta = runExpe(scaled_data, theta, 16, STOP_GRAD, thresh=0.002*2, alpha=0.001)

# 精度
#设定阈值0.5  大于0.5能录取 小于0.5pass
def predict(X,theta):
    return [1 if x >= 0.5 else 0 for x in model(X, theta)]

scaled_X = scaled_data[:,:3]
y = scaled_data[:,3]
predictions = predict(scaled_X, theta)
correct = [1 if ((a == 1 and b == 1) or (a == 0 and b == 0)) else  0 for (a, b) in zip(predictions, y)]
accuracy = (sum(map(int, correct)) % len(correct))
print('accuracy = {0}%'.format(accuracy))