Delaunay三角网生成算法

实验要求

1. 完成角度判别法生成Delaunay三角网的算法。在给定矩形范围（客户区大小的80%）内随机生成一系列随机点（不少于100个），根据角度判别法生成Delaunay三角网，并在屏幕上绘制。
2. 根据所生成的点，生成对应的Voronoi图并绘制。
3. 对生成的Voronoi图进行四色填充。（选做）

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算法简介

1. Delaunay三角网和Voronoi图
   
   1. Voronoi图与Delaunay三角网
      不规则三角网（Triangulated Irregular Network，简称TIN）。数学上的定义，假设$S=\{p_1,p_2,...,p_n\},n\ge3$表示欧式平面$R^2$上的一个点集，并且任意三点不共线，四点不共圆，$d(p_i,p_j)$表示点$p_i$和$p_j$间的欧式距离，则区域$V=\{x\in R^2 | d(x,p_i) \le d(x,p_j), i,j=1,2,...,n且i\neq j\}$称为平面点集S的Voronoi多边形，又称为Voronoi图。平面上的Voronoi图也可以看做是点集S中的每个点作为生长核，以相同的速率向外扩张，直到彼此相遇为止在平面上所形成的图形。除最外层的点形成开放的区域外，其余每个点都形成一个凸多边形。
   2. Delaunay三角网的两个重要性质
      空外接圆性质：在由点集S构成的Delaunay三角网中，每个三角形的外接圆均不包含点集S中的其他任意点，即任何一个Delaunay三角形的外接圆不包含其他任何点。
      最大的最小角性质：在由点集S所构成的三角网中，Delaunay三角网中三角形的最小角度是最大的，一个简明的解释：2个相邻三角形构成的凸四边形的对角线在相互交换后，6个内角的最小角不再增大。
2. 角度判别法生成Delaunay三角网
   输入：点集S
   输出：Delaunay三角网
   算法过程：
   
   1. 任取一点，求与之相连的最短边。从点集S中任选一点作为起点$p_1$，寻找与其距离最近的点作为第二点$p_2$。
   2. 初始化队列数据。置一空队列Q，存储扩展边。在连线$p_1-p_2$右侧进行扩展，得到扩展点$p_3$，在连线$p_2-p_1$右侧进行扩展，得到扩展点$p_4$，记录扩展得到的两个三角形（扩展失败则不记录）。将$p_1-p_3$、$p_3-p_2$、$p_2-p_4$和$p_4-p_1$加入队列Q（扩展失败的边不加入队列）。(扩展方法为，在连线的右侧寻找与其构成最大夹角的第三点，若其右侧没有满足条件的点，则这条边扩展失败)。
   3. 进行循环，直至队列Q为空。每次循环从队列中取出一条边$p_i-p_j$，在其右侧进行扩展，得到扩展点$p_k$，记录扩展得到的三角形，并将新生成的两条边$p_i-p_k$和$p_k-p_j$加入队列Q。
   4. 算法结束。

3. 由Delaunay三角网生成Voronoi图
   根据已生成的Delaunay三角网，可以生成对应的Voronoi图。
   输入：点集S构成的Delaunay三角网
   输出：点集S构成的Voronoi图
   算法过程：

   1. 对三角形集合进行遍历，记录每个三角形是由哪三个点构成的。
   2. 计算每个三角形的外接圆圆心，并记录。
   3. 遍历三角形集合，寻找与当前三角形$t$三边共边的相邻三角形$t_A$，$t_b$和$t_c$。
   4. 如果找到对应边的邻接三角形，则把寻找到的三角形的外心与$t$的外心连接，存入Voronoi边集合中。如果找不到，则求出该边所对应的中垂线射线与边缘的交点，将外心与其连线存入Voronoi边集合中。
   5. 遍历结束。

4. 四色填充参考
   http://www.cnblogs.com/moondark/p/3594188.html

实验结果参考图

图中绿色点线为Delaunay三角网，红色实线为Voronoi图。