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[多项式算法](Part 2)NTT 快速数论变换 学习笔记
\(4.Extreme-FWT\)
FWT\((Fast\ Walsh-Hadamard\ Transform)\)
中文名称：快速沃尔什变换
(Fast Wrong-Answer Transform)
\(Q:\)有完没完了？\(FWT\)又是什么？现在已经能处理任意情况的多项式乘法了，还要这个干什么？
\(A:\)我也不想学啊，根本背不下来
虽然现在我们可以快速求出\(C=A*B,C_k=\sum_{i+j=k}A_i*B_j\)了，但是现在让你求\(C=A\oplus B,C_k=\sum_{i\oplus j=k}A_i*B_j\)，其中\(\oplus\)代表一个位运算符号，如\(|(or),\&(and),\land(xor)\)，你该怎么做呢？
这时就到\(FWT\)登场了。
接下来让我们对于\(FWT\)的\(3\)种形式感性理解分别讨论
\(Part1--FWT(or)\)
设\(A_0,A_1\)分别表示长度为\(n=2^x\)的多项式\(A\)的前半部分和后半部分。
首先，给出\(FWT(A)\)的计算方式：
\[ FWT(A)=\begin{cases} (FWT(A_0),FWT(A_0)+FWT(A_1))&(n>1)\\ A&(n=1) \end{cases} \]
其中\((A,B)\)表示两个多项式相连。
那么\(n=1\)是显然是对的，边界嘛。
至于\(n>1\)的情况如何理解？
对于\(A_0\)和\(A_0\)中两个数下标\(or\)起来一点还在\(A_0\)中（二进制下最高位为\(0\)，是前半部分），那么就只对前半部分有贡献。
对于\(A_1\)和\(A_1\)中两个数，同理只对后半部分有贡献。
对于\(A_0\)和\(A_1\)中的两个数，思考\(FWT(A)_k\)的意义，有：
\[FWT(A)_k=\sum_{i|k=k}A_i\]
因为当\(i|k=k,j|k=k\)时，有\((i|j)|k=k\)，满足\(FWT\)的可合并性质。
那么因为\(A_1\)下标二进制最高位为\(1\)，所以\(or\)起来只对后半部分产生贡献。
贡献就是\(A_0\)对\(A_1\)的贡献（\(A_1\)已经贡献过自己了，不用再加）。
那么式子就很明显了。
同时根据\(FWT(A)\)的意义，容易发现\(FWT(A_0+A_1)=FWT(A_0)+FWT(A_1)\)。
接下来证明\(FWT(A|B)=FWT(A)*FWT(B)\)(保证\(or\)卷积答案的正确性，要不然\(FWT\)就没有用了)。
当\(n=1\)时，性质显然成立
当\(n>1\)时，：
\[ \begin{equation} \begin{split} FWT(A|B)=&FWT((A|B)_0,(A|B)_1)\\ &=FWT(A_0|B_0,A_0|B_1+A_1|B_0+A_1|B_1)\\ &=(FWT(A_0|B_0),FWT(A_0|B_0+A_0|B_1+A_1|B_0+A_1|B_1))\\ &=(FWT(A_0)*FWT(B_0),FWT(A_0)*FWT(B_0)+FWT(A_0)*FWT(B_1)\\ &+FWT(A_1)*FWT(B_0)+FWT(A_1)*FWT(B_1))\\ &=(FWT(A_0)*FWT(B_0),(FWT(A_0)+FWT(A_1))*(FWT(B_0)+FWT(B_1)))\\ &=(FWT(A_0)*FWT(B_0),FWT(A_0+A_1)*FWT(B_0+B_1)))\\ &=(FWT(A_0),FWT(A_0+A_1))*(FWT(B_0),FWT(B_0+B_1))\\ &=FWT(A)*FWT(B) \end{split} \end{equation} \]
由数学归纳法得知，此性质成立。
那么\(or\)的\(FWT\)就很好写了~~代码在后面。
\(Part2--FWT(and)\)
\(and\)的\(FWT\)就和\(or\)的很类似了。
因为\(A_0\)和\(A_1\)最高位不同，那么\(and\)后只对\(A_0\)有贡献。
类似\(or\)的，可以得到\(FWT(A)\)的计算方式：
\[ FWT(A)=\begin{cases} (FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A_1))&(n>0)\\ A(n=0) \end{cases} \]
至于证明就不写了，和\(or\)的类似，写着麻烦。
\(Part3--FWT(xor)\)
最迷的\(xor\)来了
说实话，在网上找了许多\(Blog\)，似乎都没有给出构造方法，那么我也不会啊
你就当是某位神仙找的规律吧
首先是\(FWT(A)\)的计算方式：
\[ FWT(A)=\begin{cases} (FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A_0)-FWT(A_1))&(n>0)\\ A(n=0) \end{cases} \]
看着都恶心，这怎么构造出来的啊\(QAQ\)
那么根据定义，很容易证明\(FWT(A\pm B)=FWT(A)\pm FWT(B)\)
因为\(FWT\)是一个线性组合，满足以上性质。
然后是\(FWT(A\land B)=FWT(A)*FWT(B)\)
这个也可以用数学归纳法证明，详见参考资料
\(Q:\)等等……是不是少了什么？\(FWT\)后怎么变回去呢？
\(A:\)这还不简单接下来的过程就是\(IFWT\)了！
\(Part4--IFWT(or)\)
\(Emm...\)至于\(IFWT\)呢就很简单了，把变换倒过来即可。
(这不是废话吗)
那么对于\(or\)的\(IFWT\)，考虑之前有\(FWT\)的方程：
\[FWT(A)=(FWT(A_0),FWT(A_0)+FWT(A_1))\]
也就是：
\[FWT(A)_0=FWT(A_0),FWT(A)_1=FWT(A_0)+FWT(A_1)\]
\[FWT(A_0)=FWT(A)_0,FWT(A_1)=FWT(A_0)-FWT(A)_1=FWT(A)_0-FWT(A)_1\]
此时定义\(IFWT(A)_0=FWT(A_0),IFWT(A)_1=FWT(A_1)\) ，也就有：
\[ IFWT(A)=\begin{cases} (IFWT(A_0),IFWT(A_0)-IFWT(A_1))&(n>0)\\ A&(n=0) \end{cases} \]
\(En...\)真简单
\(Part5--IFWT(and)\)
类似\(or\)的\(IFWT\)，可以直接得到：
\[ IFWT(A)=\begin{cases} (IFWT(A_0)-IFWT(A_1),IFWT(A_1))&(n>0)\\ A(n=0) \end{cases} \]
过程类似，这里就不多赘述。。
\(Part6--IFWT(xor)\)
\(xor\)的\(IFWT\)出人意料地一样简单。
由定义得：
\[ \begin{cases} FWT(A)_0=FWT(A_0)+FWT(A_1)\\ FWT(A)_1=FWT(A_0)-FWT(A_1) \end{cases} \]
解方程就简单了。
最后有：
\[ IFWT(A)=\begin{cases} (\frac{IFWT(A_0)+IFWT(A_1)}2,\frac{IFWT(A_0)-IFWT(A_1)}2)&(n>0)\\ A&(n=0) \end{cases} \]
终于完了
那么接下来就是看图写话看定义写代码过程了：
这里为了节省代码量把\(6\)个函数写一起了（因为框架大致类似）。
代码：
#include <cstdio>
#include <cstring>
typedef long long ll;
const int Mod=998244353,Inv2=(Mod+1)>>1;//Inv2 2在mod998244353下的逆元
int n,a[1<<17],b[1<<17],as[1<<17],bs[1<<17];
void FWT(int *A,int op,int t)
//op [1/-1][FWT/IFWT]
//t [1,2,3][or/and/xor]
{
for(int i=2;i<=n;i<<=1)//i 区间长度
for(int j=0,m=i>>1;j<n;j+=i)//j 区间左端 m 区间大小一半
for(int k=0;k<m;++k)//k 正在算第几个数
if(t==1)A[j+m+k]=((ll)A[j+m+k]+A[j+k]*op+Mod)%Mod;
else if(t==2)A[j+k]=((ll)A[j+k]+A[j+m+k]*op+Mod)%Mod;
else
{
int A0=A[j+k],A1=A[j+m+k];
A[j+k]=(ll)(A0+A1)*(op==1?1:Inv2)%Mod;
A[j+m+k]=(ll)(A0-A1+Mod)*(op==1?1:Inv2)%Mod;
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n),n=1<<n;
for(int i=0;i<n;++i)scanf("%d",&as[i]);
for(int i=0;i<n;++i)scanf("%d",&bs[i]);
for(int t=1;t<=3;++t)//分别计算or/and/xor
{
memcpy(a,as,sizeof(int)*n);
memcpy(b,bs,sizeof(int)*n);
FWT(a,1,t),FWT(b,1,t);
for(int i=0;i<n;++i)a[i]=a[i]*1LL*b[i]%Mod;
FWT(a,-1,t);
for(int i=0;i<n;++i)printf("%d%c",a[i],i==n-1?'\n':' ');
}
return 0;
}代码应该很好懂，就不解释了。
我只能说：\(FWT\)真好背真好写。
参考资料：（\(Dalao\ TQL\)）