【算法】-000 一维多项式求值

【算法】-000 一维多项式求值

1、一维多项式的定义

  一维多项式是指如下所示的一元多项式：

$$p(x)=a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-3}x^{n-3}+ \dots + a_2x^2+a_1x+a_0$$

  一维多项式的求值就是求$p(x)$在$x$处的值。

2、普通解法

  普通解法是按照常规做法，一项一项的求值，分别计算$x^{n-1}$，在计算$a_{n-1}$与$x^{n-1}$的乘积，并将最后的结果相加，得到计算结果。

  这种做法需要的计算量如下：

  计算$x^2$需要1次乘法，$x^3$需要两次乘法，$x^4$需要3次乘法，再加上前面与系数的乘法，一共需要进行

$$N=1+2+3+4+ \dots + (n-2)+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$$ 次乘法，因此，其时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度可以做到 $O(1)$。

3、变形解法

  将一维多项式变形成

$$p(x)=((\dots(a_{n-1}x+a_{n-2})x+a_{n-3})x+\dots+a_1)x+a_0$$

  可以看出，这一解法的乘法计算量并未减少，算法的时间复杂度仍然为$O(n^2)$，空间复杂度为$O(1)$。

4、空间换时间

  对于一维多项式，过程中需要多次求解$x^k$，并且在$x^{k+1}=x^k\times x$,因此，可以在计算过程中将$x^k$结果保存下来，在下次求解更高次幂的时候可以使用。

  此时，计算$x^{n-1}$需要的乘法次数为$n-2$次，各项与其系数相乘共需进行$n-2$次乘法，因此，一共的乘法次数为$2n-2$次，所以时间复杂度为$O(n)$。但算法执行过程中需要使用空间对$x^{n-1}$的计算过程进行存储，共需存储$n-2$个计算结果，因此，空间复杂度为$O(n)$。

  由此可见，虽然算法的时间复杂度降低了，但同时其空间复杂度上升了，时间和空间需要进行平衡。需要根据算法的使用场景来选择算法。

5、多项式稀疏时的情况

  这里的多项式稀疏是指一维多项式中，指数不连续，通常指指数值很大，但项数很少，例如

$$p(x)=a_{100000}x^{100000}+a_3x^3+a_2x^2+a_1x^1+a_0$$

  可以看出，直接计算时，乘法次数为100000+3+2+1次，额外空间为1。但使用时间换空间算法时，乘法次数为100000+1+1，额外空间为100000。算法并未明显改善时间复杂度同时浪费了空间。