多项式的各种算法

编程语言 2018-12-28 09:50:49 阅读次数: 0
版权声明：本文为博主原创文章，未经博主允许必须转载。 https://blog.csdn.net/qq_35950004/article/details/85274386

1.核心：
FFT:
正常版本：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 400005
using namespace std;
const double PI = acos(-1);
	
struct cplx
{
	double r,i;
	cplx(double r=0,double i=0):r(r),i(i){}
	cplx operator +(const cplx &B)const{ return cplx(r+B.r,i+B.i); }
	cplx operator -(const cplx &B)const{ return cplx(r-B.r,i-B.i); }
	cplx operator *(const cplx &B)const{ return cplx(r*B.r-i*B.i,i*B.r+r*B.i); }
	cplx conj(){ return cplx(r,-i); }
}a[maxn],b[maxn];
int r[maxn]={};
cplx w[maxn] = {1};

inline void FFT(cplx *A,int lgn,int tp)
{
	int n = 1<<lgn;
	for(int i=1;i<n;i++) r[i] = (r[i>>1]>>1) | ((i&1)<<(lgn-1));
	for(int i=1;i<n;i++) if(i < r[i]) swap(A[i] , A[r[i]]);
	for(int len=2;len<=n;len<<=1){
		int l = len >> 1;cplx wn(cos(PI / l) , sin(PI / l) * tp);
		for(int i=1;i<l;i++) w[i] = w[i-1] * wn;
		for(int st = 0;st < n;st += len) for(int k=0;k<l;k++)
		{
			cplx tmp = w[k] * A[st + k + l];
			A[st + k + l] = A[st + k] - tmp , A[st + k] = A[st + k] + tmp;
		}
	}
	if(tp==-1) for(int i=0;i<n;i++) A[i].r /= n;
}


int main()
{
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=0;i<=n;i++) scanf("%lf",&a[i].r);
	for(int i=0;i<=m;i++) scanf("%lf",&a[i].i);
	n++,m++;
	int len = 0;
	for(;n+m>(1<<len);len++);
	FFT(a,len,1);
	for(int i=0,ci,Len = 1<<len;i<Len;i++)
	{
		ci = (Len - i) & (Len - 1);
		cplx A = (a[i] + a[ci].conj())*cplx(0.5,0) , B = (a[i] - a[ci].conj())*cplx(0,-0.5);
		b[i] = A * B;
	}
	FFT(b,len,-1);
	for(int i=0;i<n+m-1;i++) printf("%d ",int(b[i].r+0.5));
}

预处理单位元（精度高）：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 300005
using namespace std;

const double Pi = 3.1415926535897932384626433832795;
struct cplx
{
	double r,i;
	cplx(double r=0,double i=0):r(r),i(i){}
	cplx operator +(const cplx &B)const{ return cplx(r+B.r,i+B.i); }
	cplx operator -(const cplx &B)const{ return cplx(r-B.r,i-B.i); }
	cplx operator *(const cplx &B)const{ return cplx(r*B.r-i*B.i,i*B.r+r*B.i); }
	cplx conj()const{ return cplx(r,-i); }
}w[maxn],A[maxn],B[maxn];
int r[maxn];
inline void FFT(cplx A[maxn],int lgn,int tp)
{
	int n = 1<<lgn;
	for(int i=0;i<n;i++) w[i]=cplx(cos(i*Pi/n),sin(i*Pi/n));
	for(int i=0;i<n;i++) r[i] = (r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lgn-1));
	for(int i=0;i<n;i++) if(i < r[i]) swap(A[i] , A[r[i]]);
	for(int L=2;L<=n;L<<=1)
		for(int st=0,l=L>>1;st<n;st+=L)
			for(int k=0,lc=0,inc=n/l;k<l;k++,lc+=inc)
			{
				cplx tmp = (tp==1 ? w[lc] : w[lc].conj()) * A[st+k+l];
				A[st+k+l]=A[st+k]-tmp,A[st+k]=A[st+k]+tmp;
			}
	if(tp==-1) for(int i=0;i<n;i++) A[i].r/=n,A[i].i/=n;
}

int main()
{
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=0;i<=n;i++) scanf("%lf",&A[i].r);
	for(int i=0;i<=m;i++) scanf("%lf",&A[i].i);
	int lgn=0;for(;n+m>=(1<<lgn);lgn++);
	FFT(A,lgn,1);
	for(int i=0,len=1<<lgn;i<len;i++)
	{
		cplx u=A[i],v=A[(len-1)&(len-i)].conj();
		B[i]=(u+v)*(u-v)*cplx(0,-0.25);
	}
	FFT(B,lgn,-1);
	for(int i=0;i<n+m;i++) printf("%d ",int(round(B[i].r)));
	printf("%d\n",(int)round(B[n+m].r));
}

MTT
合并DFT详见myy论文。
合并IDFT其实不需要任何技巧因为：
I D F T ( D F T ( A ( i ) ) + i D F T ( B ( i ) ) ) = A ( i ) + i B ( i ) IDFT(DFT(A(i)) + iDFT(B(i))) = A(i) + iB(i)
如果觉得慢的话可以将long double改为double
然后预处理单位根照样可以满足 1 0 5 10^5 的精度要求

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 300005
#define LL long long
#define M ((1<<15)-1)
#define ld long double
using namespace std;

char cb[1<<15],*cs=cb,*ct=cb;
#define getc() (cs==ct&&(ct=(cs=cb)+fread(cb,1,1<<15,stdin),cs==ct)?0:*cs++)
inline void read(int &res){ char ch;for(;!isdigit(ch=getc()););for(res=ch-'0';isdigit(ch=getc());res=res*10+ch-'0'); }

int p;
const ld Pi = 3.1415926535897932384626433832795;
struct cplx
{
	ld r,i;
	cplx(ld r=0,ld i=0):r(r),i(i){}
	cplx operator +(const cplx &B)const{ return cplx(r+B.r,i+B.i); }
	cplx operator -(const cplx &B)const{ return cplx(r-B.r,i-B.i); }
	cplx operator *(const cplx &B)const{ return cplx(r*B.r-i*B.i,i*B.r+B.i*r); }
	cplx conj(){ return cplx(r,-i); }
}w[maxn]={1};
int a[maxn],b[maxn],c[maxn],r[maxn];

inline void FFT(cplx A[maxn],int lgn,int tp)
{
	int n = 1<<lgn;
	for(int i=1;i<n;i++) r[i] = (r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lgn-1));
	for(int i=1;i<n;i++) if(i<r[i])swap(A[i],A[r[i]]);
	for(int L=2;L<=n;L<<=1)
	{	int l=L>>1;w[1]=cplx(cos(Pi/l),sin(Pi/l)*tp);
		for(int i=2;i<l;i++) w[i] = w[i-1] * w[1];
		for(int st=0;st<n;st+=L)
			for(int k=0;k<l;k++)
			{
				cplx tmp = w[k] * A[st+k+l];
				A[st+k+l] = A[st+k]-tmp , A[st+k] = A[st+k] + tmp;
			}
	}
	if(tp == -1) for(int i=0;i<n;i++) A[i].r/=n,A[i].i/=n;
}

cplx s[4][maxn];
inline void mul(int a[maxn],int b[maxn],int lgn,int c[maxn])
{
	int n = 1<<lgn;
	for(int i=0;i<n;i++) s[0][i] = cplx(a[i]>>15,b[i]>>15) , s[1][i] = cplx(a[i]&M,b[i]&M);
	FFT(s[0],lgn,1),FFT(s[1],lgn,1);
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		cplx a[4] = {s[0][i] , s[0][(n-i)&(n-1)].conj() , s[1][i] , s[1][(n-1)&(n-i)].conj()};
		cplx b[4] = {(a[0]+a[1])*cplx(0.5,0),(a[0]-a[1])*cplx(0,-0.5),
			(a[2]+a[3])*cplx(0.5,0),(a[2]-a[3])*cplx(0,-0.5)};
		s[2][i] = b[0]*b[1]+cplx(0,1)*(b[2]*b[3]) , s[3][i] = b[0]*b[3]+cplx(0,1)*b[1]*b[2];//IDFT(DFT(A(x))+DFT(iB(x))) = A(x) + iB(x)
	}
	FFT(s[2],lgn,-1),FFT(s[3],lgn,-1);
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		LL a[4] = {llround(s[2][i].r)%p,llround(s[2][i].i)%p,llround(s[3][i].r)%p,llround(s[3][i].i)%p};
		c[i] =	(a[1] + (((a[2]+a[3])%p)<<15) + (a[0]<<30)) % p;
	}
}

int main()
{
	int n,m;p=1000000007;
	read(n),read(m);
	for(int i=0;i<=n;i++) read(a[i]);
	for(int i=0;i<=m;i++) read(b[i]);
	int lgn = 0;
	for(;n+m>=(1<<lgn);lgn++);
	mul(a,b,lgn,c);
	for(int i=0;i<n+m;i++) printf("%d ",(c[i]+p)%p);
	printf("%d\n",(c[n+m]+p)%p);
}

2.多项式求逆：
MTT版本：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 300005
#define mod 1000000007
#define LL long long
#define M ((1<<15)-1)
#define ld long double 
using namespace std;

const ld Pi = 3.1415926535897932384626433832795;
int wlen=0;
struct cplx
{
    ld r,i;
    cplx(ld r=0,ld i=0):r(r),i(i){}
    cplx operator +(const cplx &B)const{return cplx(r+B.r,i+B.i);}
    cplx operator -(const cplx &B)const{return cplx(r-B.r,i-B.i);}
    cplx operator *(const cplx &B)const{return cplx(r*B.r-i*B.i,i*B.r+r*B.i);}
    cplx conj(){return cplx(r,-i);}
}w[maxn];

inline int Pow(int base,int k)
{
    int ret = 1;
    for(;k;k>>=1,base=1ll*base*base%mod) if(k&1) ret=1ll*ret*base%mod;
    return ret;
}
int r[maxn];
inline void FFT(cplx A[maxn],int lgn,int tp)
{
	int n = 1<<lgn;
	for(int i=0;i<n;i++) r[i] = (r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lgn-1));
	for(int i=0;i<n;i++) if(i < r[i]) swap(A[i] , A[r[i]]);
	for(int L=2;L<=n;L<<=1)
		for(int st=0,l=L>>1,inc=wlen/l;st<n;st+=L)
			for(int k=0,lc=0;k<l;k++,lc+=inc)
			{
				cplx tmp = (tp==1 ? w[lc] : w[lc].conj()) * A[st+k+l];
				A[st+k+l]=A[st+k]-tmp,A[st+k]=A[st+k]+tmp;
			}
	if(tp==-1) for(int i=0;i<n;i++) A[i].r/=n,A[i].i/=n;
}

cplx s[4][maxn];
inline void mul(int a[maxn],int b[maxn],int lgn,int c[maxn])
{
    int n = 1<<lgn;
    for(int i=0;i<n;i++) s[0][i]=cplx(a[i]>>15,b[i]>>15),s[1][i]=cplx(a[i]&M,b[i]&M);
    FFT(s[0],lgn,1),FFT(s[1],lgn,1);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cplx a[4]={s[0][i],s[0][(n-i)&(n-1)].conj(),s[1][i],s[1][(n-1)&(n-i)].conj()};
        cplx b[4]={(a[0]+a[1])*cplx(0.5,0),(a[0]-a[1])*cplx(0,-0.5),
            (a[2]+a[3])*cplx(0.5,0),(a[2]-a[3])*cplx(0,-0.5)};
        s[2][i] = b[0]*b[1]+cplx(0,1)*b[2]*b[3],s[3][i]=b[0]*b[3]+cplx(0,1)*b[1]*b[2];
    }
    FFT(s[2],lgn,-1),FFT(s[3],lgn,-1);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        LL a[4]={llround(s[2][i].r)%mod,llround(s[2][i].i)%mod,llround(s[3][i].r)%mod,llround(s[3][i].i)%mod};
        c[i] = ((a[0]<<30)+(a[1])+((a[2]+a[3])<<15)) % mod;
    }
}

void Inv(int a[maxn],int lgn,int b[maxn])
{
    if(lgn==0){ b[0]=Pow(a[0],mod-2);return; }
    Inv(a,lgn-1,b);
    int n = (1<<(lgn+1));
    static int tmp[3][maxn];
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(i<(n>>1)) tmp[0][i] = a[i]; else tmp[0][i] = 0;
        if(i<(n>>2)) tmp[1][i] = b[i]; else tmp[1][i] = 0;
    }
    mul(tmp[0],tmp[1],lgn+1,tmp[2]);
    for(int i=0;i<n;i++) tmp[2][i] = (i==0) * 2 - tmp[2][i];
    mul(tmp[2],tmp[1],lgn+1,b);
    for(int i=(n>>1);i<n;i++) b[i] = 0;
}
int n,a[maxn],b[maxn];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    int lgn = 0;
    for(;n>(1<<lgn);lgn++);
    wlen = 1<<(lgn+1);
    for(int i=0;i<wlen;i++) w[i] = cplx(cos(i*Pi/wlen),sin(i*Pi/wlen));
    Inv(a,lgn,b);
    printf("%d",(b[0]+mod)%mod);
    for(int i=1;i<n;i++) printf(" %d",(b[i]+mod)%mod);
}

多项式除法：
求 A ( x ) ≡ B ( x ) ∗ C ( x ) + R ( x ) ( m o d x n ) A(x)\equiv B(x)*C(x)+R(x)\pmod{x^n}
其中 A ( x ) ， B ( x ) A(x)，B(x) 已知。 ∣ R ( x ) ∣ &lt; ∣ B ( x ) ∣ |R(x)|&lt;|B(x)|
不知道怎么理解。
多项式除法
还是手推一下式子比较好：
A ( x ) ≡ B ( x ) C ( x ) + R ( x ) A ( 1 x ) ≡ B ( 1 x ) C ( 1 x ) + R ( 1 x ) x n A ( 1 x ) ≡ x ∣ B ( x ) ∣ B ( x ) ∗ x ∣ C ( x ) ∣ C ( x ) + x ∣ B ( x ) ∣ − 1 R ( x ) ∗ x n − ∣ B ( x ) ∣ + 1 将 R ( x ) 看 做 ∣ B ( x ) ∣ − 1 次 多 项 式 , A R ( x ) = x ∣ A ( x ) ∣ A ( 1 x ) A R ( x ) ≡ B R ( x ) C R ( x ) + x n − ∣ B ( x ) ∣ + 1 R R ( x ) 在 ( m o d x n − ∣ B ( x ) ∣ − 1 ) 意 义 下 做 多 项 式 逆 元 \begin{aligned} &amp;A(x)\equiv B(x)C(x)+R(x)\\ &amp;A(\frac 1x)\equiv B(\frac 1x)C(\frac 1x)+R(\frac 1x)\\ &amp;x^nA(\frac 1x) \equiv x^{|B(x)|}B(x) * x^{|C(x)|}C(x)+x^{|B(x)|-1}R(x)*x^{n-|B(x)|+1}\\ &amp;将R(x)看做|B(x)|-1次多项式,A^R(x) = x^{|A(x)|}A(\frac 1x)\\ &amp;A^R(x)\equiv B^R(x)C^R(x)+x^{n-|B(x)|+1}R^R(x) 在\pmod{x^{n-|B(x)|-1}}意义下做多项式逆元 \end{aligned}

常系数线性递推
这篇看起来又线代又通俗

多点求值和快速插值
51nod 1387

猜你喜欢

转载自blog.csdn.net/qq_35950004/article/details/85274386
今日推荐
美国拟限制 AI 大模型出口中国和俄罗斯
苹果将与 OpenAI 达成协议，将 ChatGPT 应用于 iPhone
openKylin 社区生态委员会第六次会议圆满召开
阿里云正式发布通义千问 2.5
Python 3.13 发布首个 Beta：实验性自由线程模式和 JIT、改进交互式解释器
Stack Overflow 拿我的代码去训练 AI 大模型，还封了我的账号
Pop!_OS 的 COSMIC 桌面完成 App Store 上架工作
报告：Django 仍然是 74% 开发者的首选
《2024 年一季度互联网投融资运行情况》研究报告
15 年前上了“FFmpeg 耻辱柱”，今天他还得谢谢咱——腾讯QQPlayer一雪前耻？
TIOBE 5 月榜单：Fortran “复活”进入 Top 10
GCC 14.1 发布
周排行
curl的POST请求，封装方法
8.1.1. Integer Types
Java基础 Day05(个人复习整理)
Python - Django - 中间件 process_exception
小L的试卷
【Shell编程】 （函数）判断用户是否存在
python(css样式)
spring ant path 匹配原则 - 【笔记】
《JavaScript与JScript从入门到精通》(美)James.Jaworski.中译本.扫描版.pdf
Eclipse运行带参数的java程序
每日归档
更多
2024-05-12(0)
2024-05-11(38)
2024-05-10(38)
2024-05-09(35)
2024-05-08(42)
2024-05-07(14)
2024-05-06(40)
2024-05-05(0)
2024-05-04(7)
2024-05-03(19)

代码天地 © 2018 codetd.com

境外服务器   最新电视剧2022