下面我们讨论一种重要的代数系--向量空间。我们将数域$K$限定为实数$R$或复数$C$。
定义 集合$V$称为域$K$上的向量空间，如果它满足下列条件:
(i) 集合$V$中定义了加法$+$运算，而且$V$在此加法运算下构成Abel群，此时零元记为$0$，$v\in V$的负元记为$-v$.
(ii) 对于$\forall a\in K,\,v\in V$，有数乘运算$av\in V$，对任意的$v_1,v_2,v\in V$以及$a,b\in K$，满足
$$a(v_1+v_2)=av_1+av_2,\,(a+b)v=av+bv,\,(ab)v=a(bv),\,1\circ v=v$$.
向量空间也称线性空间或线性流形。向量空间中的元素称为向量，向量空间中的加法和数乘运算称为线性运算。
在向量空间的基础上，我们可以定义另一个重要的代数系--代数。
定义 设$A$是域$K$上的向量空间，若在$A$中再定义代数乘法$\circ$，使$(A,+,\circ )$成为环，并且对任意$a\in K,\,u,v\in A$，有
$$a(u\circ v)=(au)\circ v=u\circ (av)$$
则称$A$为域K上的代数，简称(结合)代数。
如果乘法$\circ$不是可结合的，则称$A$是一个非结合代数。