理解GloVe模型（+总结）

概述

• 模型目标：进行词的向量化表示，使得向量之间尽可能多地蕴含语义和语法的信息
• 输入：语料库
• 输出：词向量
• 方法概述：首先基于语料库构建词的共现矩阵，然后基于共现矩阵和GloVe模型学习词向量。*开始 -> 统计共现矩阵 -> 训练词向量 -> 结束

统计共现矩阵

设共现矩阵为X，其元素为X_i,j。
X_i,j的意义为：在整个语料库中，单词i和单词j共同出现在一个窗口中的次数。
举个栗子：
设有语料库：

i love you but you love him i am sad
这个小小的语料库只有1个句子，涉及到7个单词：i、love、you、but、him、am、sad。
如果我们采用一个窗口宽度为5（左右长度都为2）的统计窗口，那么就有以下窗口内容：

窗口标号	中心词	窗口内容
0	i	i love you
1	love	i love you but
2	you	i love you but you
3	but	love you but you love
4	you	you but you love him
5	love	but you love him i
6	him	you love him i am
7	i	love him i am sad
8	am	him i am sad
9	sad	i am sad

窗口0、1长度小于5是因为中心词左侧内容少于2个，同理窗口8、9长度也小于5。
以窗口5为例说明如何构造共现矩阵：
中心词为love，语境词为but、you、him、i；则执行：

X_{love,but}+=1 X_{love,you}+=1 X_{love,him}+=1 X_{love,i}+=1

使用窗口将整个语料库遍历一遍，即可得到共现矩阵X。

使用GloVe模型训练词向量

模型公式

先看模型，代价函数长这个样子：

$J=∑_{i,j}^Nf(X_{i,j})(v^T_iv_j+b_i+b_j−log(X_{i,j}))^2$
$v_i$， $v_j$是单词i和单词j的词向量， $b_i$， $b_j$是两个标量（作者定义的偏差项），f是权重函数（具体函数公式及功能下一节介绍），N是词汇表的大小（共现矩阵维度为N*N）。
可以看到，GloVe模型没有使用神经网络的方法。

模型怎么来的

那么作者为什么这么构造模型呢？首先定义几个符号：

$X_i=∑_{j=1}^NX_{i,j}$
其实就是矩阵单词i那一行的和；
$P_{i,k}=X_{i,k}X_i$
条件概率，表示单词k出现在单词i语境中的概率；
$ratio_{i,j,k}=P_{i,k}P_{j,k}$
两个条件概率的比率。
作者的灵感是这样的：
作者发现，ratio_{i,j,k}这个指标是有规律的，规律统计在下表：

ratioi,j,k的值	单词j,k相关	单词j,k不相关
单词i,k相关	趋近1	很大
单词i,k不相关	很小	趋近1

很简单的规律，但是有用。
思想：假设我们已经得到了词向量，如果我们用词向量 $v_{i}$、 $v_{j}$、 $v_{k}$通过某种函数计算 $ratio_{i,j,k}$，能够同样得到这样的规律的话，就意味着我们词向量与共现矩阵具有很好的一致性，也就说明我们的词向量中蕴含了共现矩阵中所蕴含的信息。
设用词向量 $v_{i}$、 $v_{j}$、 $v_{k}$计算 $ratio_{i,j,k}$的函数为g(vi,vj,vk)（我们先不去管具体的函数形式），那么应该有：
$P_{i,k}P_{j,k}=ratio_{i,j,k}=g(v_i,v_j,v_k)$
即：
$P_{i,k}P_{j,k}=g(v_i,v_j,v_k)$
即二者应该尽可能地接近；
很容易想到用二者的差方来作为代价函数：
$J=∑_{i,j,k}^N(\frac{P_{i,k}}{P_{j,k}}−g(v_i,v_j,v_k))^2$
但是仔细一看，模型中包含3个单词，这就意味着要在NNN的复杂度上进行计算，太复杂了，最好能再简单点。
现在我们来仔细思考g(vi,vj,vk)，或许它能帮上忙；
作者的脑洞是这样的：

1. 要考虑单词i和单词j之间的关系，那g(vi,vj,vk)中大概要有这么一项吧：vi−vj；嗯，合理，在线性空间中考察两个向量的相似性，不失线性地考察，那么vi−vj大概是个合理的选择；
   2. $ratio_{i,j,k}$是个标量，那么g(vi,vj,vk)最后应该是个标量啊，虽然其输入都是向量，那內积应该是合理的选择，于是应该有这么一项吧： $(vi−vj)^Tv_k$。
2. 然后作者又往 $(vi−vj)^Tv_k$的外面套了一层指数运算exp()，得到最终的g(vi,vj,vk)=exp( $(vi−vj)^Tv_k$)；
   最关键的第3步，为什么套了一层exp()？
   套上之后，我们的目标是让以下公式尽可能地成立：
   $P_{i,k}P_{j,k}=g(v_i,v_j,v_k)$
   即：
   $P_{i,k}P_{j,k}=exp((v_i−v_j)^Tv_k)$
   即：
   $P_{i,k}P_{j,k}=exp(v^T_iv_k−v^T_jv_k)$
   即：
   $P_{i,k}P_{j,k}=exp(v^T_iv_k)exp(v^T_jv_k)$
   然后就发现找到简化方法了：只需要让上式分子对应相等，分母对应相等，即：
   $P_{i,k}=exp(v^T_iv_k)$并且 $P_{j,k}=exp(v^T_jv_k)$
   然而分子分母形式相同，就可以把两者统一考虑了，即：
   $P_{i,j}=exp(v^T_iv_j)$
   本来我们追求：
   $P_{i,k}P_{j,k}=g(v_i,v_j,v_k)$
   现在只需要追求：
   $P_{i,j}=exp(v^T_iv_j)$
   两边取个对数：
   $log(P_{i,j})=v^T_iv_j$
   那么代价函数就可以简化为：
   $J=∑_{i,j}^N(log(P_{i,j})−v^T_iv_j)^2$
   现在只需要在NN的复杂度上进行计算，而不是NN*N，现在关于为什么第3步中，外面套一层exp()就清楚了，正是因为套了一层exp()，才使得差形式变成商形式，进而等式两边分子分母对应相等，进而简化模型。
   然而，出了点问题。
   仔细看这两个式子：
   $log(P_{i,j})=v^T_iv_j$和 $log(P_{j,i})=v^T_jv_i$
   $log(P_{i,j})$不等于 $log(P_{j,i})$但是 $v^T_iv_j$等于 $v^T_jv_i$；即等式左侧不具有对称性，但是右侧具有对称性。
   数学上出了问题。
   补救一下好了。
   现将代价函数中的条件概率展开：
   $log(P_{i,j})=v^T_iv_j$
   即为:
   $log(X_{i,j})−log(X_i)=v^T_iv_j$
   将其变为：
   $log(X_{i,j})=v^T_iv_j+b_i+b_j$
   即添了一个偏差项bj，并将log(Xi)吸收到偏差项bi中。
   于是代价函数就变成了：
   $J=∑_{i,j}^N(v^T_iv_j+b_i+b_j−log(X_{i,j}))^2$
   然后基于出现频率越高的词对儿权重应该越大的原则，在代价函数中添加权重项，于是代价函数进一步完善：
   $J=∑_{i,j}^Nf(X_{i,j})(v^T_iv_j+b_i+b_j-log(X_{i,j}))^2$
   具体权重函数应该是怎么样的呢？
   首先应该是非减的，其次当词频过高时，权重不应过分增大，作者通过实验确定权重函数为：
   $f(x)=\begin{cases} (x/xmax)^0.75, & \text {if $x<xmax$} \\ 0, & \text {if $x>=xmax$} \end{cases}$
   到此，整个模型就介绍完了。

Glove和skip-gram、CBOW模型对比

Cbow/Skip-Gram 是一个local context window的方法，比如使用NS来训练，缺乏了整体的词和词的关系，负样本采用sample的方式会缺失词的关系信息。
另外，直接训练Skip-Gram类型的算法，很容易使得高曝光词汇得到过多的权重

Global Vector融合了矩阵分解Latent Semantic Analysis (LSA)的全局统计信息和local context window优势。融入全局的先验统计信息，可以加快模型的训练速度，又可以控制词的相对权重。

我的理解是skip-gram、CBOW每次都是用一个窗口中的信息更新出词向量，但是Glove则是用了全局的信息（共现矩阵），也就是多个窗口进行更新