[SDOI2013]随机数生成器-题解

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~~很久没写BSGS了，找个板子练练手吧~~

简略题意：

给你初始的 $P,a,b,x_1$ ，生成一个无限长的序列 $X$ ，序列的每个元素满足 $x_i\equiv a\times x_{i-1}+b(mod\ P)$ ，询问你一个数字 $t$ ，最早在序列的哪个位置出现，输出位置，如果没有出现则输出 $-1$ 。

首先推一波式子：

$x_2=ax_1+b\\ x_3=ax_2+b=a^2x_1+ab+b\\ x_4=ax_3+b=a^3x_1+a^2b+ab+b\\ \cdots\\ x_n=ax_{n-1}+b=a^{n-1}x_1+b\sum\limits_{i=0}^{n-2}a^i$

我们现在就的到了这个序列的通项公式，然后用等比数列求和公式简化一下，得到：

$\sum\limits_{i=0}^{n-2}a^i=\frac{a^{n-1}-1}{a-1}$

题外话：证明 $a^{n-1}-1$ 为 $a-1$ 的倍数（当a为正整数）
因为 $a^{n-1}-1=(a-1)(a^{n-2}+a^{n-3}+\cdots+a+1)$
展开后面就变成了 $(a^n+a^{n-1}+\cdots+a)-(a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+1)$ ，中间消掉就变成了 $a^{n-1}-1$ ，又因为 $a^{n-2}+a^{n-3}+\cdots+a+1$ 为正整数，所以成立。

原式就变成了如下：

$x_n=a^{n-1}x_1+b\times \left(\frac{a^{n-1}-1}{a-1}\right)$

移个项，得到：

$x_n=a^{n-1}x_1+\frac{a^{n-1}b}{a-1}-\frac{b}{a-1}\\ x_n+\frac{b}{a-1}=a^{n-1}\times \left(x_1+\frac{b}{a-1}\right)\\ a^{n-1}=\frac{x_n+\frac{b}{a-1}}{x_1+\frac{b}{a-1}}$

令右边为 $val$ ，原式就为 $a^{n-1}=val$ 。

现在我们相当于知道了 $x_n=t$ ，然后去求是否存在一个 $n$ 使其满足，就变成了 $BSGS$ 板子题了。（不会BSGS的先去学，全称叫 $Baby Step Giant Step$ 离散对数的大步小步算法）

但是注意，由于式子分母不能为 $0$ 所以 $a=1$ 特判，等比数列中的等比值 $a=0$ 时也要特判。

复杂度 $O(T(\sqrt{P}+logP+map常数))$

代码：

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int T;
ll P,a,b,X1,t;
namespace HASH_LIST{
	const int M=1e5+10,Mod=91799;
	struct ss{
		int to,last;ll v,p;
		ss(){}
		ss(int a,int b,ll c,ll d):to(a),last(b),v(c),p(d){}
	};
	struct Hash_List{
		ss g[M];
		int head[M],cnt,tot;
		void add(int a,int b,ll c,ll d){g[++cnt]=ss(b,head[a],c,d);head[a]=cnt;}
		void clear(){memset(head,0,sizeof(head));cnt=tot=0;}
		void insert(ll a,ll b){
			int t=a%Mod;
			add(t,++tot,a,b);
		}
		ll find(ll a){
			int t=a%Mod;
			for(int i=head[t];i;i=g[i].last){
				if(g[i].v==a) return g[i].p;
			}
			return -1;
		}
	};
	ll fpow(ll a,ll b,ll c){
		ll res=1;
		for(;b;b>>=1,a=(a*a)%c){
			if(b&1)res=(res*a)%c;
		}	
		return res;
	}
	ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
		if(!b){x=1;y=0;return a;}
		ll t=exgcd(b,a%b,y,x);
		y-=(a/b)*x;return t;
	}
	ll Inv(ll a,ll b){
		ll xx,yy;
		exgcd(a,b,xx,yy);
		return (xx%b+b)%b;
	}
	ll gcd(ll a,ll b){
		return b?gcd(b,a%b):a;
	}
}
using namespace HASH_LIST;
Hash_List mp;//手写hash表

ll BSGS(ll a,ll b){
	mp.clear();
	ll now=(ll)sqrt(P)+1;
	ll res=b;
	for(ll i=1;i<=now;i++){
		res=res*a;if(res>=P)res%=P;
		mp.insert(res,i);
	}
	a=fpow(a,now,P);
	if(!a){return !b?1:-1;}
	res=1;ll ans=0;
	for(ll i=1;i<=now;i++){
		res=res*a;if(res>=P)res%=P;
		ll tt=mp.find(res);
		if(tt>=0){
			ans=(i*now-tt)%P;if(ans<0)ans+=P;
			return ans;
		}
	}
	return -1;
}

int main(){
	for(scanf("%d",&T);T--;){
		scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&P,&a,&b,&X1,&t);
		if(X1==t%P){puts("1");continue;}
		if(!b){
			ll val=t*Inv(X1,P)%P;
			ll ans=BSGS(a,val);
			if(ans==-1) puts("-1");
			else printf("%lld\n",ans+1);
			continue;
		}
		if(!a){
			if(t%P==b)puts("2");else puts("-1");
		}else if(a==1){
			ll day=(t-X1)*Inv(b,P)%P;
			if(day<0)(day%=P)+=P;
			printf("%lld\n",day+1);
		}else{
			ll Inv_a=b*Inv(a-1,P)%P;
			ll val=((t+Inv_a)%P)*Inv((X1+Inv_a)%P,P)%P;
			ll ans=BSGS(a,val);
			if(ans==-1) puts("-1");
			else printf("%lld\n",ans+1);
		}
	}
	return 0;
} 
代码略丑，见谅。

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