Description

小 W喜欢读书，尤其喜欢读书，尤其喜欢读《约翰克里斯朵夫》。最近小 W准备读一本新书，这本一共有 p页，页码范围为 0..p -1。

小 W很忙，所以每天只能读一页书。为了使事情有趣一些，他打算使用 NOI2012上学习的线性同余法生成一个序列，来决定每天具体读哪一页。

我们用 Xi来表示通过这种方法生成出来第 i个数，也即小 W第 i天会读哪一页。这个方法需要设置 3个参数 a，b，X1，满足 0≤a，b，X1≤p-1，且 a， b，X1都是整数。按照下面的公式按照下面的公式生成出来一系列的整数。

Xi+1= (aXi + b) mod p

其中 mod p 表示前面的数除以 p的余数。

可以发现，这个序列中下一个数总是由上一个数生成的，而且每一项都在 0..p -1这个范围内，是一个合法的页码。同时需要注意，这种方法有可能导致某两天读的页码完全一样。

小 W非常急切地想去读这本书的第t页。所以他想知道，对于一组给定的 a， b，X1，如果使用线性同余法来生成每一天读的页码，最早读到第t页是在哪一天，或者指出他永远不会读到第t页。

Input

输入含有多组数据，第一行一个正整数T，表示这个测试点内的数据组数。

接下来 T行，每行有五个整数 p，a，b，X1，t，表示一组数据。保证 X1和 t都是合法的页码。

Output

共 T行，每行一个整数表示他最早读到第t页是哪一天。如果他永远不会读到第t页，输出 -1。

Sample Input

Sample Output

Data Constraint

Hint

对于第一组数据，生成的序列为： 3，4，5，6，0…

对于第二、三组数据，生成的序列为： 2，6，0，2…

Solution

BSGS。

$x_{n+1}=ax_n+b$

$x_{n+1}=a(ax_{n-1}+b)+b$

$x_{n+1}=a^2x_{n-1}+ab+b$

$...$

$x_{n+1}=a^nx_1+a^{n-1}b+a^{n-2}b+...+ab+b$

套等差数列公式

$x_{n+1}=a^nx_1+\frac{b(a^n-1)}{a-1}$

$x_{n+1}+\frac{b}{a-1}=a^nx_1+\frac{a^nb}{a-1}$

$x_{n+1}+\frac{b}{a-1}=a^n(x_1+\frac{b}{a-1})$

$\frac{x_{n+1}+\frac{b}{a-1}}{x_1+\frac{b}{a-1}}=a^n$

现在已知x的第n+1项为t（即 $x_{n+1}=t$ ），求n+1的最小值

$a^n=\frac{t+\frac{b}{a-1}}{x_1+\frac{b}{a-1}}$

$a^n\equiv \frac{t+\frac{b}{a-1}}{x_1+\frac{b}{a-1}}(mod ~p)$

$a^n\equiv \frac{t(a-1)+b}{x_1(a-1)+b}(mod ~p)$

对于分母求逆元，对于整个式子BSGS

总结：注意同一个变量不能多用，多开几个变量就好了。同时对于每个相同或相似的过程最好统一一下变量名。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define I int
#define ll long long
#define F(i,a,b) for(I i=a;i<=b;i++)
#define M 70921
using namespace std;
I T,p,a,b,x,t,m,now,ans,inf=0x7fffffff;
struct node{I v,c;}h[M+10];
void R(I &x){
	I w=1;x=0;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') w=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
	x*=w;
}
I ksm(ll x,I k){
	ll sum=1;
	while(k){
		if(k&1) sum=(sum*x)%p;
		x=(x*x)%p;k>>=1;
	}
	return sum;
}
I hash(I x){
	I k=x%M;
	while(h[k].v>=0&&h[k].v!=x) if(++k==M) k=0;
	return k;
}
I main(){
	freopen("generator.in","r",stdin);
	freopen("generator.out","w",stdout);
	R(T);
	while(T--){
		ans=inf;
		R(p),R(a),R(b),R(x),R(t);
		if(x==t){printf("1\n");continue;}
		if(x==0&&b==0){printf("-1\n");continue;}
		if(a==0){printf(b==t?"2\n":"-1\n");continue;}
		if(a==1){
			if(!b){printf("-1\n");continue;}
			now=(ll)(t-x+p)%p*ksm(b,p-2)%p;
			printf("%d\n",now+1);continue;
		}
		memset(h,255,sizeof h);
		t=((1LL*t*a-t+b)%p+p)%p*ksm(((1LL*x*a-x+b)%p+p)%p,p-2)%p;
		m=sqrt(p);
		F(j,1,m){
			x=hash(t=1LL*t*a%p);
			h[x]=node{t,j};
		}
		now=ksm(a,m);x=1;
		F(i,1,m+1){
			t=hash(x=1LL*x*now%p);
			if(h[t].c>=0) ans=min(ans,i*m-h[t].c+1);
		}		
		printf((ans==inf)?"-1\n":"%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

3211. 【SDOI2013】随机数生成器