洛谷3306 bzoj3122 SDOI2013随机数生成器 BSGS

题目链接
这首先是一道高中数学题，我们要由数列的递推公式求出数列的通项公式。
由题目已知：

$$x_{i+1}=ax_i+b(mod\ p)$$
这个可以用高中的待定系数法求出通项公式。我们设
$$x_{n+1}+k=ax_n+b+k(mod\ p)$$
$$x_{n+1}+k=a(x_n+k)-(a-1)k+b(mod\ p)$$
我们要使 $-(a-1)k+b=0$来构造一个等比数列，那么我们解得 $k=\frac{b}{a-1}$
$x_{i}+\frac{b}{a-1}$是等比数列，那么我们得到 $$x_i+\frac{b}{a-1}=(x_1+\frac{b}{a-1})*a^{i-1}(mod\ p)$$ 根据题意，我们要求一个 $x_i=t$时的最小的 $i$，我们发现上面的式子中除了 $a^{i-1}$外都是已知或者可以算出来的，那么我们移项得 $$a^{i-1}=(x_i+b*inv(a-1))*inv(x_1+b*inv(a-1))(mod\ p)$$ ,其中 $inv$表示逆元（模意义下的除法转化为乘逆元）。
那么我们把右边的 $(x_i+b*inv(a-1))*inv(x_1+b*inv(a-1))$看作一个整体 $D$，又因为题目保证 $p$是质数，可以发现，这个问题变成了一个BSGS问题。
接下来是代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int T;
long long a,b,c,X1,t,ni1,ni2;
map <long long,long long> mp;
void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
    }
    else
    {
        exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=a/b*x;
    }
}
long long ksm(long long x,long long y,long long mod)
{
    long long res=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)
        res=(res*x)%c;
        x=(x*x)%c;
        y>>=1;
    }
    return res;
} 
long long gcd(long long x,long long y)
{
    return y?gcd(y,x%y):x;
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        mp.clear();
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&c,&a,&b,&X1,&t);
        long long x=0,y=0;
        //坑人的特判 
        if(t==X1)
        {
            printf("1\n");
            continue;
        }
        if(a==0)
        {
            if(t==b)
            printf("2\n");
            else
            printf("-1\n");
            continue;
        }
        if(a==1&&b==0)
        {
            printf("-1\n");
            continue;
        }
        if(a==1)
        {
            exgcd(b,c,x,y);
            ni1=(x%c+c)%c;
            if(!ni1)
            ni1+=c;
            printf("%lld\n",(((((t-X1)%c)+c)%c)*ni1%c)%c+1);
            continue;
        }   
        exgcd(a-1,c,x,y);
        ni1=(x%c+c)%c;//inv(a-1)
        if(!ni1)
        ni1+=c;
        exgcd(ni1*b+X1,c,x,y);
        ni2=(x%c+c)%c;//inv(x1+b*inv(a-1))
        if(!ni2)
        ni2+=c;
        //xn=t !!! 不是自己求出来再看是不是和t在mod c意义下同余 
        long long m=(long long)ceil(sqrt(c)),ans,pd=0;
        if(gcd(a,c)!=1)
        {
            printf("-1\n");
            continue;
        }
        for(int j=0;j<=m;++j)
        {
            if(j==0)
            {
                ans=(t+b*ni1%c)*ni2%c;
                mp[ans]=j;
                continue;
            }
            ans=(ans*a)%c;
            mp[ans]=j;
        }
        ans=1;
        x=ksm(a,m,c);
        for(int i=1;i<=m;++i)
        {
            ans=(ans*x)%c;
            if(mp[ans])
            {
                x=i*m-mp[ans];
                pd=1;
                printf("%lld\n",(x%c+c)%c+1);
                break;
            }
        }
        if(!pd)
        printf("-1\n");
    }
    return 0;
}