【BSGS】BZOJ3122 [SDOI2013]随机数生成器

【题目】
原题地址
给定$p,a,b,x_1,t$，构成数列$x_i=(ax_{i-1}+b)\mod p$问最小的$i$，使得$x_i=t$是多少，如没有输出-1。

【解题思路】
我数论只会gcd啊，所以很郑重地写下了这篇博文。这个题显然是有循环的，但是这个循环怎么求，就用到BSGS辣。
接下来我们化一下原来的式子$x_{i+1}\equiv ax_i+b\pmod p$

$$x_{i+1}+{b\over {a-1}}\equiv ax_i+b+{b\over {a-1}}\pmod p$$
$$x_{i+1}+{b\over {a-1}}\equiv a(x_i+{b\over {a-1}})\pmod p$$
$$x_n+{b\over {a-1}}\equiv a(x_{n-1}+{b\over {a-1}})\pmod p$$
$$x_n+{b\over {a-1}}\equiv a^2(x_{n-2}+{b\over {a-1}})\pmod p$$
迭代下去我们就可以得到，
$$x_n+{b\over {a-1}}\equiv a^{n-1}(x_1+{b\over {a-1}})\pmod p$$
所以最终的式子就是
$$a^{n-1}\equiv (x_n+b*inv(a-1))*inv(x_1+b*inv(a-1))\pmod p$$
但是这个东西要特判一下a=0，a=1的情况。
然后就可以exgcd解出 $a^{n-1}$，再用BSGS算出n即可。

【参考代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
LL T,p,a,b,x1,t,x,y;
map<LL,int>mp;

LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    LL ret=exgcd(b,a%b,x,y);
    LL tmp=x;x=y;y=tmp-a/b*y;
    return ret;
}

LL qpow(LL x,LL y,LL mod)
{
    x%=mod;LL ret=1;
    for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)
        if(y&1)
            ret=ret*x%mod;
    return ret;
}

LL bsgs(LL A,LL B,LL C)
{
    A%=C;
    if(!A)
    {
        if(!B)
            return 1;
        return -1;
    }
    LL m=sqrt(C)+1,w=1,k=1,km=qpow(A,C-m-1,C);
    mp.clear();mp[1]=m+1;
    for(int i=1;i<m;++i)
    {
        w=w*A%C;
        if(!mp[w])
            mp[w]=i;
    }
    for(int i=0;i<m;++i)
    {
        int j=mp[B*k%C];
        if(j)
        {
            if(j==m+1)
                j=0;
            return i*m+j;
        }
        k=k*km%C;
    }
    return -1;
}

LL calc1()
{
    LL q=(t-x1+p)%p;
    LL w=exgcd(b,p,x,y);
    if(q%w)
        return -1;
    q/=w;
    x=(x*q%p+p)%p;
    return x+1;
}

LL calc2()
{
    LL q=qpow(a-1,p-2,p),A=(x1+b*q)%p,C=(t+b*q)%p;
    LL w=exgcd(A,p,x,y);
    if(C%w)
        return-1;
    C/=w;
    x=(x%p+p)%p;
    w=bsgs(a,x*C%p,p);
    if(~w)
        return w+1;
    return w;
}

LL solve()
{
    if(x1==t)
        return 1;
    if(a==0)
    {
        if(b==t)    
            return 2;
        return -1;
    }
    if(a==1)
        return calc1();
    return calc2();
}

int main()
{
    freopen("BZOJ3122.in","r",stdin);
    freopen("BZOJ3122.out","w",stdout);

    scanf("%lld",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&p,&a,&b,&x1,&t);
        printf("%lld\n",solve());
    }

    return 0;
}

【总结】
没什么总结的，主要是练习BSGS。