一、工作原理
1.每个回归系数初始化为 1
2.重复 R 次: 1. 计算整个数据集的梯度 2. 使用 步长 x 梯度 更新回归系数的向量5.返回回归系数
二、实现代码
1.基于梯度上升寻找逻辑回归参数
# coding: utf8
from numpy import *
import matplotlib.pyplot as plt
# ---------------------------------------------------------------------------
# 使用 Logistic 回归在简单数据集上的分类
# 解析数据
def loadDataSet(file_name):
'''
Desc:
加载并解析数据
Args:
file_name -- 文件名称，要解析的文件所在磁盘位置
Returns:
dataMat -- 原始数据的特征
labelMat -- 原始数据的标签，也就是每条样本对应的类别
'''
# dataMat为原始数据， labelMat为原始数据的标签
dataMat = []
labelMat = []
fr = open(file_name)
for line in fr.readlines():
lineArr = line.strip().split()
if len(lineArr) == 1:
continue # 这里如果就一个空的元素，则跳过本次循环
# 为了方便计算，我们将 X0 的值设为 1.0 ，也就是在每一行的开头添加一个 1.0 作为 X0
dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
labelMat.append(int(lineArr[2]))
return dataMat, labelMat
# sigmoid跳跃函数
def sigmoid(inX):
return 1.0 / (1 + exp(-inX))
# 正常的处理方案
# 两个参数：第一个参数==> dataMatIn 是一个2维NumPy数组，每列分别代表每个不同的特征，每行则代表每个训练样本。
# 第二个参数==> classLabels 是类别标签，它是一个 1*100 的行向量。为了便于矩阵计算，需要将该行向量转换为列向量，做法是将原向量转置，再将它赋值给labelMat。
def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
'''
Desc:
正常的梯度上升法
Args:
dataMatIn -- 输入的 数据的特征 List
classLabels -- 输入的数据的类别标签
Returns:
array(weights) -- 得到的最佳回归系数
'''
# 转化为矩阵[[1,1,2],[1,1,2]....]
dataMatrix = mat(dataMatIn) # 转换为 NumPy 矩阵
# 转化为矩阵[[0,1,0,1,0,1.....]]，并转制[[0],[1],[0].....]
# transpose() 行列转置函数
# 将行向量转化为列向量 => 矩阵的转置
labelMat = mat(classLabels).transpose() # 首先将数组转换为 NumPy 矩阵，然后再将行向量转置为列向量
# m->数据量，样本数 n->特征数
m, n = shape(dataMatrix)
# print m, n, '__'*10, shape(dataMatrix.transpose()), '__'*100
# alpha代表向目标移动的步长
alpha = 0.001
# 迭代次数
maxCycles = 500
# 生成一个长度和特征数相同的矩阵，此处n为3 -> [[1],[1],[1]]
# weights 代表回归系数， 此处的 ones((n,1)) 创建一个长度和特征数相同的矩阵，其中的数全部都是 1
weights = ones((n, 1))
for k in range(maxCycles): # heavy on matrix operations
# m*3 的矩阵 * 3*1 的单位矩阵 ＝ m*1的矩阵
# print 'dataMatrix====', dataMatrix
# print 'weights====', weights
# n*3 * 3*1 = n*1
h = sigmoid(dataMatrix * weights) # 矩阵乘法
# labelMat是实际值
error = (labelMat - h) # 向量相减
# 0.001* (3*m)*(m*1) 表示在每一个列上的一个误差情况，最后得出 x1,x2,xn的系数的偏移量
weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose() * error # 矩阵乘法，最后得到回归系数
return array(weights)
# 可视化展示
def plotBestFit(dataArr, labelMat, weights):
'''
Desc:
将我们得到的数据可视化展示出来
Args:
dataArr:样本数据的特征
labelMat:样本数据的类别标签，即目标变量
weights:回归系数
Returns:
None
'''
n = shape(dataArr)[0]
xcord1 = []
ycord1 = []
xcord2 = []
ycord2 = []
for i in range(n):
if int(labelMat[i]) == 1:
xcord1.append(dataArr[i, 1])
ycord1.append(dataArr[i, 2])
else:
xcord2.append(dataArr[i, 1])
ycord2.append(dataArr[i, 2])
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.scatter(xcord1, ycord1, s=30, c='red', marker='s')
ax.scatter(xcord2, ycord2, s=30, c='green')
x = arange(-3.0, 3.0, 0.1)
"""
y的由来，是不是没看懂？
首先理论上是这个样子的。
dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
w0*x0+w1*x1+w2*x2=f(x)
x0最开始就设置为1叻， x2就是我们画图的y值，而f(x)被我们磨合误差给算到w0,w1,w2身上去了
所以： w0+w1*x+w2*y=0 => y = (-w0-w1*x)/w2
"""
y = (-weights[0] - weights[1] * x) / weights[2]
ax.plot(x, y)
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.show()
if __name__ == '__main__':
# 1.收集并准备数据
dataMat, labelMat = loadDataSet("TestSet.txt")
# print dataMat, '---\n', labelMat
# 2.训练模型， f(x)=a1*x1+b2*x2+..+nn*xn中 (a1,b2, .., nn).T的矩阵值
# 因为数组没有是复制n份， array的乘法就是乘法
dataArr = array(dataMat)
# print dataArr
weights = gradAscent(dataArr, labelMat)
# weights = stocGradAscent0(dataArr, labelMat)
# weights = stocGradAscent1(dataArr, labelMat)
# print '*'*30, weights
# 数据可视化
plotBestFit(dataArr, labelMat, weights)
其中梯度上升算法中，权重的更新计算：
weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose() * error涉及代价函数求偏导的过程，可参考：【机器学习笔记1】Logistic回归总结
2.基于随机梯度上升寻找逻辑回归参数
# coding: utf8
from numpy import *
import matplotlib.pyplot as plt
# ---------------------------------------------------------------------------
# 使用 Logistic 回归在简单数据集上的分类
# 解析数据
def loadDataSet(file_name):
'''
Desc:
加载并解析数据
Args:
file_name -- 文件名称，要解析的文件所在磁盘位置
Returns:
dataMat -- 原始数据的特征
labelMat -- 原始数据的标签，也就是每条样本对应的类别
'''
# dataMat为原始数据， labelMat为原始数据的标签
dataMat = []
labelMat = []
fr = open(file_name)
for line in fr.readlines():
lineArr = line.strip().split()
if len(lineArr) == 1:
continue # 这里如果就一个空的元素，则跳过本次循环
# 为了方便计算，我们将 X0 的值设为 1.0 ，也就是在每一行的开头添加一个 1.0 作为 X0
dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
labelMat.append(int(lineArr[2]))
return dataMat, labelMat
# sigmoid跳跃函数
def sigmoid(inX):
return 1.0 / (1 + exp(-inX))
# Tanh是Sigmoid的变形，与 sigmoid 不同的是，tanh 是0均值的。因此，实际应用中，tanh 会比 sigmoid 更好。
#return 2 * 1.0/(1+exp(-2*inX)) - 1
# 正常的处理方案
# 两个参数：第一个参数==> dataMatIn 是一个2维NumPy数组，每列分别代表每个不同的特征，每行则代表每个训练样本。
# 第二个参数==> classLabels 是类别标签，它是一个 1*100 的行向量。为了便于矩阵计算，需要将该行向量转换为列向量，做法是将原向量转置，再将它赋值给labelMat。
def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
'''
Desc:
正常的梯度上升法
Args:
dataMatIn -- 输入的 数据的特征 List
classLabels -- 输入的数据的类别标签
Returns:
array(weights) -- 得到的最佳回归系数
'''
# 转化为矩阵[[1,1,2],[1,1,2]....]
dataMatrix = mat(dataMatIn) # 转换为 NumPy 矩阵
# 转化为矩阵[[0,1,0,1,0,1.....]]，并转制[[0],[1],[0].....]
# transpose() 行列转置函数
# 将行向量转化为列向量 => 矩阵的转置
labelMat = mat(classLabels).transpose() # 首先将数组转换为 NumPy 矩阵，然后再将行向量转置为列向量
# m->数据量，样本数 n->特征数
m, n = shape(dataMatrix)
# print m, n, '__'*10, shape(dataMatrix.transpose()), '__'*100
# alpha代表向目标移动的步长
alpha = 0.001
# 迭代次数
maxCycles = 500
# 生成一个长度和特征数相同的矩阵，此处n为3 -> [[1],[1],[1]]
# weights 代表回归系数， 此处的 ones((n,1)) 创建一个长度和特征数相同的矩阵，其中的数全部都是 1
weights = ones((n, 1))
for k in range(maxCycles): # heavy on matrix operations
# m*3 的矩阵 * 3*1 的单位矩阵 ＝ m*1的矩阵
# print 'dataMatrix====', dataMatrix
# print 'weights====', weights
# n*3 * 3*1 = n*1
h = sigmoid(dataMatrix * weights) # 矩阵乘法
# labelMat是实际值
error = (labelMat - h) # 向量相减
# 0.001* (3*m)*(m*1) 表示在每一个列上的一个误差情况，最后得出 x1,x2,xn的系数的偏移量
weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose() * error # 矩阵乘法，最后得到回归系数
return array(weights)
# 可视化展示
def plotBestFit(dataArr, labelMat, weights):
'''
Desc:
将我们得到的数据可视化展示出来
Args:
dataArr:样本数据的特征
labelMat:样本数据的类别标签，即目标变量
weights:回归系数
Returns:
None
'''
n = shape(dataArr)[0]
xcord1 = []
ycord1 = []
xcord2 = []
ycord2 = []
for i in range(n):
if int(labelMat[i]) == 1:
xcord1.append(dataArr[i, 1])
ycord1.append(dataArr[i, 2])
else:
xcord2.append(dataArr[i, 1])
ycord2.append(dataArr[i, 2])
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.scatter(xcord1, ycord1, s=30, c='red', marker='s')
ax.scatter(xcord2, ycord2, s=30, c='green')
x = arange(-3.0, 3.0, 0.1)
"""
y的由来，是不是没看懂？
首先理论上是这个样子的。
dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
w0*x0+w1*x1+w2*x2=f(x)
x0最开始就设置为1叻， x2就是我们画图的y值，而f(x)被我们磨合误差给算到w0,w1,w2身上去了
所以： w0+w1*x+w2*y=0 => y = (-w0-w1*x)/w2
"""
y = (-weights[0] - weights[1] * x) / weights[2]
ax.plot(x, y)
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.show()
def stocGradAscent0(dataMatrix, classLabels):
'''
Desc:
随机梯度下降，只使用一个样本点来更新回归系数
Args:
dataMatrix -- 输入数据的数据特征（除去最后一列）
classLabels -- 输入数据的类别标签（最后一列数据）
Returns:
weights -- 得到的最佳回归系数
'''
m, n = shape(dataMatrix)
alpha = 0.01
# n*1的矩阵
# 函数ones创建一个全1的数组
weights = ones(n) # 初始化长度为n的数组，元素全部为 1
for i in range(m):
# sum(dataMatrix[i]*weights)为了求 f(x)的值， f(x)=a1*x1+b2*x2+..+nn*xn,此处求出的 h 是一个具体的数值，而不是一个矩阵
h = sigmoid(sum(dataMatrix[i] * weights))
# print 'dataMatrix[i]===', dataMatrix[i]
# 计算真实类别与预测类别之间的差值，然后按照该差值调整回归系数
error = classLabels[i] - h
# 0.01*(1*1)*(1*n)
# print weights, "*" * 10, dataMatrix[i], "*" * 10, error
weights = weights + alpha * error * dataMatrix[i]
return weights
# 随机梯度下降算法（随机化）
def stocGradAscent1(dataMatrix, classLabels, numIter=150):
'''
Desc:
改进版的随机梯度下降，使用随机的一个样本来更新回归系数
Args:
dataMatrix -- 输入数据的数据特征（除去最后一列数据）
classLabels -- 输入数据的类别标签（最后一列数据）
numIter=150 -- 迭代次数
Returns:
weights -- 得到的最佳回归系数
'''
m, n = shape(dataMatrix)
weights = ones(n) # 创建与列数相同的矩阵的系数矩阵，所有的元素都是1
# 随机梯度, 循环150,观察是否收敛
for j in range(numIter):
# [0, 1, 2 .. m-1]
dataIndex = list(range(m))
for i in range(m):
# i和j的不断增大，导致alpha的值不断减少，但是不为0
alpha = 4 / (
1.0 + j + i
) + 0.0001 # alpha 会随着迭代不断减小，但永远不会减小到0，因为后边还有一个常数项0.0001
# 随机产生一个 0～len()之间的一个值
# random.uniform(x, y) 方法将随机生成下一个实数，它在[x,y]范围内,x是这个范围内的最小值，y是这个范围内的最大值。
randIndex = int(random.uniform(0, len(dataIndex)))
# sum(dataMatrix[i]*weights)为了求 f(x)的值， f(x)=a1*x1+b2*x2+..+nn*xn
h = sigmoid(sum(dataMatrix[dataIndex[randIndex]] * weights))
error = classLabels[dataIndex[randIndex]] - h
# print weights, '__h=%s' % h, '__'*20, alpha, '__'*20, error, '__'*20, dataMatrix[randIndex]
weights = weights + alpha * error * dataMatrix[dataIndex[randIndex]]
del (dataIndex[randIndex])
return weights
if __name__ == '__main__':
# 1.收集并准备数据
dataMat, labelMat = loadDataSet("TestSet.txt")
# print dataMat, '---\n', labelMat
# 2.训练模型， f(x)=a1*x1+b2*x2+..+nn*xn中 (a1,b2, .., nn).T的矩阵值
# 因为数组没有是复制n份， array的乘法就是乘法
dataArr = array(dataMat)
# print dataArr
# weights = gradAscent(dataArr, labelMat)
# weights = stocGradAscent0(dataArr, labelMat)
weights = stocGradAscent1(dataArr, labelMat)
# print '*'*30, weights
# 数据可视化
plotBestFit(dataArr, labelMat, weights)
对比分析
- 梯度上升算法在每次更新回归系数时都需要遍历整个数据集，该方法在处理 100 个左右的数据集时尚可，但如果有数十亿样本和成千上万的特征，那么该方法的计算复杂度就太高了。
- 一种改进方法是一次仅用一个样本点来更新回归系数，该方法称为 随机梯度上升算法。由于可以在新样本到来时对分类器进行增量式更新，因而随机梯度上升算法是一个在线学习(online learning)算法。
- 与 “在线学习” 相对应，一次处理所有数据被称作是 “批处理” （batch） 。
- 随机梯度上升算法stocGradAscent1比stocGradAscent0在两个地方做了改进：
- 第一处改进为 alpha 的值。alpha 在每次迭代的时候都会调整
- 第二处通过随机选取样本拉来更新回归系数。