机器学习实战Logistic回归笔记

假设我们有一些数据点，我们使用一条直线对这些点进行拟合，这条线称为最佳拟合直线，这个拟合过程称为回归。利用Logistic回归进行分类的主要思想是：根据现有数据对分类边界线建立回归公式，以此进行分类。我们想要得到一个函数，能够接受所有的输入然后预测出类别。例如在两个类的情况下，函数输出0或1。该函数称为海维塞德阶跃函数（Heaviside step function），或者直接称为单位阶跃函数。但是海维塞德阶跃函数的问题在于：该函数在跳跃点上从0瞬间跳跃到1，这个瞬间跳跃过程有时很难处理。不过另外一个函数也有类似的性质，而且数学上更容易处理，它就是Sigmoid函数，具体公式如下：

$$\sigma(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$
确定了分类器的函数形式后，就需要确定最佳回归系数了。
Sigmoid函数输入记为z，公式为：
$$z=w_0x_0+w_1x_1+w_2x_2+\dots+w_nx_n$$
也可以写成向量的形式：
$$Z=W^TX$$
其中x是分类器的输入数据，向量w就是要找到的最佳系数。

梯度上升
基本思想：要找到某函数的最大值，最好的方法是沿着该函数的梯度方向探寻。如果梯度记为$\nabla$，则函数f(x,y)的梯度由下式表示：

$$\nabla f(x,y)=\dbinom{\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}}{\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}}$$
这个梯度意味着要沿着x的方向移动 $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$，沿着y的方向移动 $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$
梯度算子总是指向函数值增长最快的方向，移动量大小称为步长，记为 $\alpha$，梯度上升算法的迭代公式如下：
$$w:=w+\alpha\nabla_wf(w)$$
它将一直被迭代执行，直到达到某个停止条件，比如迭代次数达到某个特定值，或者算法某个可允许的误差范围内。下面使用100个样本点，每个点包含两个数值型特征，我们将通过梯度上升找到最佳回归系数，也就是拟合出Logistic回归模型的最佳参数。

from numpy import *

def loadDataSet():
    dataMat = []; labelMat = []
    fr = open('testSet.txt')
    for line in fr.readlines():
        lineArr = line.strip().split()
        dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
        labelMat.append(int(lineArr[2]))
    return dataMat,labelMat

def sigmoid(inX):
    return 1.0/(1+exp(-inX))

def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
    dataMatrix = mat(dataMatIn)             #convert to NumPy matrix
    labelMat = mat(classLabels).transpose() #convert to NumPy matrix
    m,n = shape(dataMatrix)
    alpha = 0.001
    maxCycles = 500
    weights = ones((n,1))
    for k in range(maxCycles):              #heavy on matrix operations
        h = sigmoid(dataMatrix*weights)     #matrix mult
        error = (labelMat - h)              #vector subtraction
        weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose()* error #matrix mult
    return weights

通过以下代码运行：

dataArr,labelMat=loadDataSet()
print gradAscent(dataArr, labelMat)

得到回归系数如下：

[[ 4.12414349]
 [ 0.48007329]
 [-0.6168482 ]]

画出决策边界：

def plotBestFit(weights):
    import matplotlib.pyplot as plt
    dataMat,labelMat=loadDataSet()
    dataArr = array(dataMat)
    n = shape(dataArr)[0]
    xcord1 = []; ycord1 = []
    xcord2 = []; ycord2 = []
    for i in range(n):
        if int(labelMat[i])== 1:
            xcord1.append(dataArr[i,1]); ycord1.append(dataArr[i,2])
        else:
            xcord2.append(dataArr[i,1]); ycord2.append(dataArr[i,2])
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)
    ax.scatter(xcord1, ycord1, s=30, c='red', marker='s')
    ax.scatter(xcord2, ycord2, s=30, c='green')
    x = arange(-3.0, 3.0, 0.1)
    y = (-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2]
    ax.plot(x, y)
    plt.xlabel('X1'); plt.ylabel('X2');
    plt.show()

通过以下代码运行：

weights = gradAscent(dataArr,labelMat)
plotBestFit(weights.getA())

结果如下：

分类结果还不错，但是需要大量的计算，所以用以下算法改进：

def stocGradAscent0(dataMatrix, classLabels):
    m,n = shape(dataMatrix)
    alpha = 0.01
    weights = ones(n)   #initialize to all ones
    for i in range(m):
        h = sigmoid(sum(dataMatrix[i]*weights))
        error = classLabels[i] - h
        weights = weights + alpha * error * dataMatrix[i]
    return weights

运行：

weights = stocGradAscent0(array(dataArr), labelMat)
plotBestFit(weights)

结果如下：

结果不像之前那样好，是因为这次迭代次数减少了。
随机梯度算法改进。

def stocGradAscent1(dataMatrix, classLabels, numIter=150):
    m,n = shape(dataMatrix)
    weights = ones(n)   #initialize to all ones
    for j in range(numIter):
        dataIndex = range(m)
        for i in range(m):
            alpha = 4/(1.0+j+i)+0.0001    #apha decreases with iteration, does not
            randIndex = int(random.uniform(0,len(dataIndex)))#go to 0 because of the constant
            h = sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex]*weights))
            error = classLabels[randIndex] - h
            weights = weights + alpha * error * dataMatrix[randIndex]
            del(dataIndex[randIndex])
    return weights

运行：

 weights = stocGradAscent1(array(dataArr), labelMat)
plotBestFit(weights)

结果如下：