逆元的用处

参考:博客

• 比如说要你求A/B%C等于多少，但是存在除法取模问题（因为(A/B）%C ！= (A%C)/(B%C)，而对于乘法却有(AB）%C ！= (A%C)(B%C)
  所以要把A/B%C==>A*(1/B)%C 转换成A*X%C的形式，现在就是如何求X。(X在乘法上是B的逆元，意思是我们用B的逆元取代1/B就行了）这样就解决了乘法取模问题

• 现在讲讲逆元的定义：

• 我们称 7^-1=13(mod15),称13是7模15的逆元，因为7 * 13=91=1(mod15).这样就有4/7=4 * 13= 7(mod15)

在这里就是： 如果有BX=1(modC),那么最小的正整数X就是B模C的逆元，
所以有 (A/B) * (1)(modC)=(A/B)(BX)(modC)=AX(modC) ---->[证明]

求逆元实现代码如下：
//费马小定理：a^m-1=1(mod m)
所以a^m-2是a模m的逆元

LL quick_mod(LL x, LL n){//用矩阵快速幂求逆元，求的是x模（n+2）的逆元
    LL res = 1LL ;
    while( n ){
        if(n&1)res=res*x%mod;
        x=x*x%mod;
        n>>=1;
    }
    return res;
}

代码：

#include <bits\stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int mod = 1000000007;   
ll mod_pow(ll x,ll n)  
{  
  ll ans = 1;  
  while(n > 0) {  
    if(n % 2 == 1){
        ans = ans * x % mod;
        } 
        n /= 2;
        x = x*x % mod;
  }  
  return ans;  
}   
int main()  
{     
  ll n,ans;  
  cin >> n;  
  n++; 
  ans = (mod_pow(3,n)-1)*500000004%mod; // 500000004是2对mod的逆元 ，逆元在除以后取模时使用 
  cout << ans << endl;  
  return 0;  
}