乘法逆元，有 一个作用就是，除以一个数再取模时，可以将这个数乘以这个数的逆元再取模，就是将除法运算转化为乘法运算，举个例子：
先说一下什么是逆元：若对于数字A,C 存在X，使A * X ≡ 1 (mod C) ,那么称X为 A 对C的乘法逆元。
比如：( 4 , 7 ) 的逆元是2，4*2≡ 1（mod 7）
12 / 4mod 7=（12 / 4）* (4 * 2) mod 7
这样看除法就被转化为乘法了；
关于逆元有三种求法：
1、费马小定理 （O(nlogn)的复杂度，但若n达到1e7会爆炸，所以需要线性求逆元的方法）
根据费马小定理，我们可得出当p是素数时，对任意x，都有x^(p)≡ x(modp),
若x无法被p整除，那么x^(p-1)≡ 1(modp),
那么可得出当模数p为素数x^(p-2)就是x的逆元。
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代码如下：
const ll mod=1e9+7;
ll pow_mod(ll a,ll b)
{
ll res=1;
while(b>0)
{
if(b&1)res=res*a%mod;
a=a*a%mod;
b>>=1;
}
return res;
}
ll inv(ll a)
{
return pow_mod(a,mod-2);
}
2、扩展欧几里德算法
a*x + b*y = 1
如果ab互质，有解。
那么两边同时modp
ax%p≡1%p那么ax≡1(modp)
x就是a关于b的逆元
ll x,y,mod;
ll extgcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y)
{
ll d=a;
if(b!=0)
{
d=extgcd(b,a%b,y,x);
y-=(a/b)*x;
}
else x=1,y=0;
return d;
}
ll inv(ll a)
{
ll d=extgcd(a,mod,x,y);
return d==1?(x%mod+mod)%mod:-1;
}
int main()
{
while(cin>>x>>mod)
{
cout<<inv(x)<<endl;
}
return 0;
}
3、逆元线性筛法
用来求1,2,3....n关于p的逆元，复杂度O(n)
#define MAX 2005
const ll mod=1e9+7;
int inv[MAX];
int main()
{
ll x;
inv[1]=1;
for(int i=2;i<MAX;i++)
inv[i]=inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
while(cin>>x)
{
cout<<inv[x]<<endl;
}
return 0;
}
以上的代码均是本人测试过，如有错误，欢迎指正！
参考博客：https://blog.csdn.net/qq_37632935/article/details/77806853