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Euclid算法(gcd)
在学习扩展欧几里得算法之前，当然要复习一下欧几里得算法啦。
众所周知，欧几里得算法又称gcd算法，辗转相除法，可以在\(O(log_2b)\)时间内求解\((a,b)\)(a，b的最大公约数)。
其核心内容可以陈述为:\((a,b)=(b,a\%b)\)，然后反复迭代该式缩小\(a,b\)规模，直到\(b=0\)，得到a为最大公约数。
证明
设两数为\(a\ b(b＜a)\)，求它们最大公约数的步骤如下：用\(b\)除\(a\)，即\(a/b=q…..r\)，得\(a＝bq＋r\)(\(0≤r＜b\)，即为余数，\(q\)是这个除法的商)。若\(r=0\)，则\(b\)是\(a\)和\(b\)的最大公约数，\(a\)，\(b\)存在倍数关系。若\(r≠0\),则继续考虑。
首先，应该明白的一点是任何 \(a\) 和 \(b\) 的公约数都是 \(r\) 的公约数。要想证明这一点，就要考虑把 \(r\) 写成 \(r=a-bq\)。现在，如果 \(a\) 和 \(b\) 有一个公约数 \(d\)，而且设 \(a=sd , b=td\)， 那么 \(r = sd-tdq = (s-tq)d\)。因为这个式子中，所有的数(包括 \(s-tq\))都为整数，所以 \(r\) 可以被 \(d\) 整除。
对于所有的 \(d\) 的值，这都是正确的。所以 \(a\) 和 \(b\) 的最大公约数也是 \(b\)(因为\(b< a\)，所有取b继续运算才能不断缩小规模，直至两数有倍数关系) 和 \(r\) 的最大公约数。因此我们可以继续对 \(b\) 和 \(r\) 进行上述取余的运算。这个过程在有限的重复后，可以最终得到 \(r=0\) 的结果，我们也就得到了 \(a\) 和 \(b\) 的最大公约数
实现
\(Code:\)
inline int Euclid(int a,int b){return b==0?a:Eucild(b,a%b);}Extended Euclid算法(exgcd)
那么接下来就是扩展欧几里得啦。
正如其名，扩展欧几里得算法就是基于欧几里得算法的扩展运用。该算法用于解决一下模型的问题：
求解关于\(x,y\)的二元不定方程\(ax+by=c\)的整数解
在讲解算法之前，需要先了解该算法的核心，即裴蜀定理：
对任何整数\(a,b\)，关于未知数x和y的线性丢番图方程(称为裴蜀等式):\(ax+by=c\)，方程有整数解当且仅当\(c\)是\((a,b)\)的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个解。
证明
1.必要性证明：如果有整数解,则c是p的倍数
令\(p=(a,b)\)，设\(a=a'p\)，\(b=b'p\)，则有\((a',b')=1\)成立。那么
\[ ax+by=c \\⇒a'px+b'py=c \\⇒p(a'x+b'y)=c \]
那么\(c\)就是\(p\)的一个因数，所以\(p|c\)得证。
2.充分性证明：如果c是p的倍数,则ax+by=c有整数解
令\(p=(a,b)\)，记欧几里得算法中每一次辗转得到的数对为\((a_1,b_1),(a_2,b_2),...,(a_n,b_n)\)，其中，\((a_1,b_1)\)即为\((a,b)\)，\((a_n,b_n)\)即为\((p,0)\)，符合辗转相除法的流程。
对于\((a_n,b_n)\)，求方程\(a_nx+b_ny=c\)的解，由于\(a_n=p,b_n=0\)，我们可以构造一组解：
\[ \begin{cases} x_n=\frac{c}{p} \\∀y_n\in Z \end{cases} \]
适用于\((a_n,b_n)\)，且\((x_n,y_n)\)一定为整数(因为\(p|c\)，\(y_n\)取任意整数)。
至此，数学归纳法的底基证明完毕。
由于辗转相除法，我们可以得知
\[a_n=b_{n-1}\ ① \\b_n=a_{n-1}\%b_{n-1} \\⇒b_n=a_{n-1}-\lfloor a_{n-1}/b_{n-1}\rfloor b_{n-1}\ ② \]
我们刚才已经推得：\(a_nx+b_ny=c\)的一组整数解\((x_n,y_n)\)，那么可以把\(①②\)两式代入\(a_nx+b_ny=c\)得：
\[(b_{n-1})x+(a_{n-1}-\lfloor a_{n-1}/b_{n-1}\rfloor b_{n-1})y=c\]
且对于该方程，解\((x_n,y_n)\)仍适用，即：
\[(b_{n-1})x_n+(a_{n-1}-\lfloor a_{n-1}/b_{n-1}\rfloor b_{n-1})y_n=c\]
成立，可以进行推导：
\[ (b_{n-1})x_n+(a_{n-1}-\lfloor a_{n-1}/b_{n-1}\rfloor b_{n-1})y_n=c \\⇒b_{n-1}x_n+a_{n-1}y_n-\lfloor a_{n-1}/b_{n-1}\rfloor b_{n-1} y_n=c \\⇒a_{n-1}y_n+b_{n-1}(x_n-\lfloor a_{n-1}/b_{n-1}\rfloor y_n)=c\ ③ \]
注意到两项的系数分别为\(a_{n-1},b_{n-1}\)，所以对于方程\(a_{n-1}x+b_{n-1}y=c\)，通过③式可以直接得到一组解：
\[ \begin{cases} x_{n-1}=y_n \\y_{n-1}=x_n-\lfloor a_{n-1}/b_{n-1}\rfloor y_n \end{cases} \]
由此，我们利用辗转相除法的关系，通过方程\(a_nx+b_ny=c\)的一组解\((x_n,y_n)\)，推得了方程\(a_{n-1}x+b_{n-1}y=c\)的一组解\((x_{n-1},y_{n-1})\)。
同样地，我们可以由\((x_i,y_i)\)的一组解，得到方程\(a_{i-1}x+b_{i-1}y=c\)的一组解\((x_{i-1},y_{i-1})\)
\[ \begin{cases} x_{i-1}=y_i \\y_{i-1}=x_i-\lfloor a_{i-1}/b_{i-1}\rfloor y_i \end{cases} \]
由上，数学归纳法完成证明：如果我们得知\(a_nx+b_ny=c\)的一组解\((x_n,y_n)\)，且\((a_1,b_1),(a_2,b_2),...,(a_n,b_n)\)是由辗转相除法得到的序列，那么我们就可以通过以上方法得到原方程\(a_1x+b_1y=c\)的解\((x_1,y_1)\)。
然而，我们已经通过构造法得到\(a_nx+b_ny=c\)的一组解\((x_n,y_n)\)，且保证c是p的倍数时，整数解\((x_n,y_n)\)一定存在。故c是p的倍数时，方程\(ax+by=c\)一定有整数解。充分性得证。
实现
回归正题，看扩展欧几里得算法。
千万不要想着不看证明咯。裴蜀定理的充分性证明过程就是扩展欧几里得算法的流程。
先由辗转相除法求解\((a,b)\)，得到\(p=(a,b)\)
同时，构造解\((x_n,y_n)\)
\[ \begin{cases} x_n=\frac{c}{p} \\∀y_n\in Z \end{cases} \]
在递归的回溯过程中，利用公式：
\[ \begin{cases} x_{i-1}=y_i \\y_{i-1}=x_i-\lfloor a_{i-1}/b_{i-1}\rfloor y_i \end{cases} \]
倒推每一组\((a_i,b_i)\)的解\((x_i,y_i)\)。
最后得到\((a,b)\)和原方程\(ax+by=c\)的一组解\((x,y)\)。
至此，扩展欧几里得算法完成。
\(Code:\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int Extended_Euclid(int a,int &x,int b,int &y,int c)
{
if(b==0){x=c/a,y=0;return a;}
else
{
int p=Extended_Euclid(b,x,a%b,y,c);
int x_=x,y_=y;
x=y_; y=x_-a/b*y_;
return p;
}
}
int main(void)
{
int a,b,c;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
int p,x,y;
p=Extended_Euclid(a,x,b,y,c);
printf("(%d,%d)=%d\n",a,b,p);
printf("x=%d,y=%d\n",x,y);
}<后记>