数学问题的解题窍门——辗转相除法

辗转相除法

求最大公约数

问题：线上格点的个数

给定平面上两个格点（格点是指纵横坐标都为整数的点） $P_1=(x_1,y_2),P_1=(x_2,y_2)$ ,线段 $P_1P_2$ 上，除了 $P_1，P_2$还有多少个格点？？

限制条件：

$-10^9\leqslant x_1,x_2,y_1,y_2 \leqslant 10^9$

输入样例：

p1= 1 11   
p2= 5 3

输出样例：

(2,9) (3,7) (4,5)
3个格点

这道题目解答并不困难，首先我们立马就能想到寻找 $x_1和x_2$之间的整数、 $y_1,y_2$间的整数。然后检查所有的点是否在直线 $P_1P_2$上。虽然可以求出答案，但是时间复杂度较大，并不是一个好办法。

这个题目其实可以利用最大公约数求解。

求a,b最大公约数的辗转相除法：

1. x=max(a,b) y=min(a,b)
2. y=x%y ,x=y
3. 如果y!=0 ,则重复步骤2否则最大公约数为x

编写函数：

//求最大公约数的递归算法
int gcd(x,y){   //x>=y
	if(y==0)return x;
	return gcd(y,x%y);
}

本题中所求的格点个数= $(|x_1-x_2|与|y_1-y_2|的最大公约数)-1$

为啥最大公约数-1就是格点的个数呢？？
以本题的示例输入为例，可以这样考虑：
8,4的最大公约数是4,说明8%4=0，4%4=0;
所以8和4都可以均分为4份，如下图所示：

将横纵坐标都4等分，发现在线段内正好有三个点，而且每个点的横纵坐标都是整数，所以就有三个格点。

在本例中|x_1-x_2|=4与|y_1-y_2|=8,最大公约数为4,所以有3个格点。

代码如下;

#include <iostream>

using namespace std;

//最大公约数
int gcd(int x, int y) {
    if (y == 0) {
        return x;
    }
    return gcd(y, x % y);
}

//输出格点
string printGridPoint(int x, int y) {
    return "(" + to_string(x) + "," + to_string(y) + ")";
}

int main() {

    int x1, y1, x2, y2;
    cout << "P1=";
    cin >> x1 >> y1;
    cout << "P2=";
    cin >> x2 >> y2;

    int x = max(abs(x1 - x2), abs(y1 - y2));
    int y = min(abs(x1 - x2), abs(y1 - y2));
    int num = gcd(x, y);

    int stepX = (x1 - x2) / num;
    int stepY = (y1 - y2) / num;

    for (int i = 1; i < num; i++) {
        cout << printGridPoint(x2 + stepX * i, y2 + stepY * i) << " ";
    }
    cout << endl;

    cout << (num - 1) << "个格点";


}