【gcd/辗转相除法】gcd/辗转相除法的证明

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gcd/辗转相除法的证明

此文仅供蒟蒻参考，dalao请我也不记得是左上角还是右上角了。

前言

这不是小学奥数吗？
数学上来先打表，数论只会gcd。

上面几句话一直打击我学习数论的信心。
不仅只会gcd，连gcd都不会证明，可见我有多菜了。
直到受到某位dalao的指教，我终于证明了gcd。
dalao曰：”数论，数字之理论也。有术曰辗转相除，欲证此术，必先知反对称矣。”
那么问题来了，反对称是什么。

知识储备

下面内容很基础。对于我的证明方法来说，是必须要知道的。

1.整数具有大小（顺序）关系，用≤、≥、<、>、=来表示，其中≤具有反对称性，即：
$a≤b$且$b≤a$  <=>  $a=b$ $(a\in Z,b\in Z)$
可以说是非常基础的东西了，但是却是证明gcd的关键方法。
2.符号$|$的含义：
若$b=qa$ $(a\in Z,a≠0,q\in Z,b\in Z)$，则称$a$为$b$的约数（或$a$整除$b$），即$b/a$的结果为整数（这里注意区分除和除以的区别），记作：$a|b$，符号$a|b$蕴含条件$a≠0$。
3.整除的一个性质：
$a|b$且$a|c$  =>  $a|bx+cy$ $(x\in Z,y\in Z)$
这个性质的证明：
由$a|b$得$b=q_1a$，由$a|c$得$c=q_2a$，则$bx+cy=q_1xa+q_2ya=a(q_1x+q_2y)$即$a|bx+cy$。
4.余数的定义：
对于给定的$a\in Z,a≠0,b\in Z$，一定存在唯一的一对$q\in Z,0≤r<|a|$满足：
$b=qa+r$
我们称$q$为$b/a$的商，记作$q=[b/a]$（有时也记作$\lfloor b/a \rfloor$ $\lfloor a \rfloor$表示对实数a向下取整，即取小于等于a的整数中最大的一个），$r$为$b/a$的余数，记作$r=b-qa$。

扯了这么多乱七八糟的东西那么现在开始证明gcd。

gcd证明过程

用$gcd(n,m)$表示$n,m$的最大公约数，
证明：$gcd(n,m)=gcd(m,n\ mod\ m)$
 由$gcd$定义可得，(1)对于任意的$d|n$且$d|m$，都有$gcd(n,m)≥d$。(2)$gcd(n,m)|n$且$gcd(n,m)|m$。
 设：

$$a=gcd(n,m)$$ $$b=gcd(m,n\ mod\ m)$$
 易知： $$a|n,a|m$$
 由储备知识3得： $$a|bn+cm$$
 由储备知识4得： $$n\ mod\ m=n-qm (q\in Z)$$
 所以： $$a|n\ mod\ m$$
 由 $a|n\ mod\ m$及 $a|m$
 得： $$gcd(m,n\ mod\ m)≥a$$
 即： $$b≥a$$
 易知： $$b|m,b|n\ mod\ m$$
 即： $$b|m,b|n-qm$$
 由储备知识3易得： $$b|m,b|n$$
 因此： $$gcd(n,m)≥b$$
 即： $$a≥b$$
 所以： $$a=b$$
 即： $$gcd(n,m)=gcd(m,n\ mod\ m)$$
以上就是gcd核心内容的证明。
上面其实是一个递归的过程，如何判断其何时终止呢？
我们知道除数不能为0，且0和任何的 $a\in Z,a≠0$都有 $gcd(a,0)=a$，因此当 $m=0$且 $n≠0$时， $gcd(n,m)=n$，这就是终止条件。
（据说 $gcd(0,0)=$无穷大）

编程实现

gcd是很容易编程实现的，明摆着就是一个裸的递归过程，因此用函数递归是最容易实现的。
递归实现：
C++版：

long long gcd(long long n, long long m)
{
    if (m == 0) return n;
    else return gcd(m, n % m);
}

C++简洁版：

long long gcd(long long n, long long m)
{
    return m ? gcd(m, n % m) : n;
}

Pascal版：

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function gcd(n, m:int64):int64;
begin
    if m = 0 then exit(n)
    else exit(gcd(m, n mod m));
end;

当然也有迭代实现（也就是循环实现）的，常数上可能稍微快一些。
迭代实现：
C++版：

long long gcd(long long n, long long m)
{
    while (m)
    {
        n %= m;
        swap(n, m);
    }
    return n;
}

Pascal版：

function gcd(n, m:int64):int64;
var t:int64;
begin
    while m <> 0 do
    begin
        t:= m;
        m:= n mod m;
        n:= t;
    end;
    exit(n);
end;

终于把用了这么久的gcd证明出来了。