6.2. 辗转相除法

1. 辗转相除法，又名欧几里德算法（Euclidean algorithm），是求最大公约数的一种方法。它的具体做法是：用较大数除以较小数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。

步骤：

两个数的最大公约数是指能同时整除它们的最大正整数。
设两数为a、b(a≥b)，求a和b最大公约数的步骤如下
(1)用a除以b(a≥b)，a / b = q...r1;
(2)若r1 == 0，则gcd(a,b) = q；
(3)若r1 != 0，则b / r1 = q..r2;
(4)若r2 == 0，则gcd(a,b) = r1;
(5)若r2 != 0, 则重复上述（3），（4）步骤；

实际过程：

（1） a / b = q1 ... r1
　　　a = q1 * b + r1 b = b
　　　if: r1 == 0 , gcd(a, b) = b

（2） b / r1 = q2 ... r2
　　　b = q2 * r1 + r2 r1 = r1
　　　if: r2 == 0 , gcd(b, r1) = r1;
　　　a = q1*q2*r1 + r1 b = q2*r1
　　　gcd(a, b) = r1

复杂度：在O（log max（a, b））以内

代码：

 int gcd (int a, int b) {
     return !b ? a : gcd (b, a % b);
 }

2.扩展欧几里德算法

　　扩展欧几里德算法是用来在已知 a， b 求解一组 x， y ，使它们满足贝祖等式：

ax + by = gcd（a， b）（解一定存在）。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

理解 x 和 y：

　　已知了 ax + by = gcd（a， b）一定是有解的（数论相关定理可证）。

　　1. 显然当 b = 0，gcd（a， b） = a。此时 x = 1， y = 0；

　　2. a > b > 0 时：

　　　　设 a x1 + b y1 = gcd (a, b);

　　　　　b x2 + (a mod b) y2 = gcd (b, a mod b);

根据欧几里德原理 gcd(a, b) = gcd(b, a mod b);

　　　则 a x1 + b y1 = b x2 + (a mod b) y2;

　　　即： a x1 + b y1 = b x2 + (a - [a / b] * b) y2 = a y2 + b x2 - [a/b] * b y2;

　　　　(这里说明一下： a mod b = a - [a / b] * b [a / b] 代表取整 )

　　　那么 a x1 + b y1 = a y2 + b (x2 - [a / b] * y2).

　　　结论： x1 = y2; y1 = x2 - [a / b] * y2.

　　　这样就找到了求解x1 , y1 的方法。

代码：

int extgcd (int a, int b, int& x, int& y) {
    
    int d = a;
    if (b != 0) {
        d = extgcd (b, a % b, y, x);
        y -= (a/ b) * x;
    }
    else {
        x = 1;
        y = 0;
    }
    return d;
}

这里返回的d 就是gcd(a, b) 的值。

关于解 x 和 y 的大小：

　　事实上，如果 ab ≠ 0 ，可知道 |x| ≤ b 且 |y| ≤ a.

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