【笔记】欧几里得（扩展欧几里得）

欧几里得

本质：利用辗转相减法求最大公约数，即 gcd(a, b)。

数学表达：设 a > b ,则

gcd(a, b) = gcd(a-b, b)

不断地利用大的数减去小的数，就能得到最大公约数。

证明：

设 a = k1 * g, b = k2 * g, g = gcd(a, b)

那么 gcd(k1, k2) = 1

设 a > b <=> k1 > k2 大数减小数

那么 a = (k1 - k2) * g, b = k2 * g

我们可以发现a，b的变化为两个互质的系数在不断相减（始终还是互质），

g始终是它们的最大公约数，所以当有一个数变为0时，另一个不为0的数就是最大公约数。

代码如下：

int getgcd (int a, int b)
{
	if (a == 0)
		return b;
	else if (b == 0)
		return a;
	for (; a != b ;)
	{
		if (a > b)
			a -= b;
		else
			b -= a;
	}
}

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欧几里得优化（辗转相除）

我们发现当a一直大于b时，就会一直减去b，这其实就是变成 a mod b，于是我们可以利用辗转相除来优化。

代码如下：

int getgcd (int a,int b)
{
	return b == 0 ? a : getgcd(b, a % b);
}

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扩展欧几里得

扩展欧几里得的典型应用就是解决形如a*x + b*y = c 的二元一次方程的解的存在性问题和求出特解与通解。

解的存在性问题：

我们通过辗转相减可以观察出，a和b辗转相减的时候相当于 a*x + b*y 中的x和y在不断变化的过程，我们通过前面可以知道

这个过程一定能够得到最大公约数，所以 a*x + b*y = gcd(a, b) 方程一定有解。

那么是否 gcd(a, b) ?= c 的时候就无解呢？首先我们知道 c 是gcd(a, b) 的倍数才可能有解，因为左边一定含有因子 gcd(a, b)

左边等于右边，那么右边也一定含有 gcd(a, b)，因此我们可以通过两边同时除以最大公约数得到一个新的式子：

k1*x + k2*y = c / g && gcd(k1, k2) = 1

由辗转相减可得： k1*x + k2*y = 1 一定有解，所以方程 k1*x + k2*y = c / g 一定有解

由此可得， a*x + b*y = c 中c是gcd(a, b)的倍数时，方程一定有解

特解与通解：

所以我们只需要求解形如

a*x + b*y = gcd(a, b)

的方程，然后将解扩大 c / gcd(a, b) 倍就可以解出原方程的解

辗转相减可得：

(a - b)*x1 + b*y1 = gcd(a, b)

变换一下可得：

a*x1 + b*(y1 - x1) = gcd(a, b)

联立原方程得： x = x1, y = y1 - x1

我们可以不断将原问题变成一个规模更小的子问题，然后根据子问题的答案退出原问题的答案

又考虑可以用辗转相除优化，我们可以讲原问题变成求解：

b*x1 + a%b*y1 = gcd(a, b)

由

a%b = a - a/b * b

代入得

b*x1 + (a - a/b * b)*y1 = gcd(a, b)

得到

x = y1, y = x1 - a/b * y1

因此我们只需一直缩小问题规模，知道变成 gcd(a, b)*x + 0*y = gcd(a, b),

得到一组特解 (1, 0)，再讲其反推回去，得到原方程的一组特解。这个过程可以用一个递归函数来实现。

代码如下：

int getextcgd (int a, int b, int &x, int &y) // a*x + b*y = gcd (a,b)
{
	int d = a;
	if (b != 0)
	{
		d = extgcd (b, a % b, x, y);
		x -= (a / b) * y;
		swap (x, y);
	}
	else
	{
		x = 1, y = 0;
	}
	return d;
}

函数执行完毕后x和y就是 a*x + b*y = gcd(a, b) 中的一组特解，

通解的变化规律就是 x 和 y 的值往相反的方向变化，比如 x 变大一些， y 变小一些，使得答案不变，

设这个变化的最小单位值为 d1, d2

a*(x + d1) + b*(y - d2) = gcd(a, b)

有

a * d1 = b * d2

两边同除 gcd(a, b) 令 k1 = a / gcd(a, b)， k2 = b / gcd(a, b)

k1 * d1 = k2 * d2

这个时候k1，k2互质，显然 d1 = k2, d2 = k1，可得通解为

(x + k*d1, y - k*d2)

即

(x + k*b/gcd(a, b), y - k*a/gcd(a, b))

并且我们通过递归函数的实现可以观察到，解的绝对值是跟 a, b 的绝对值同一个级别的