更多的导数例子（More Derivative Examples）
在这篇笔记中将给出一个更加复杂的例子，在这个例子中，函数在不同点处的斜率是不一样的，先来举个例子:
我在这里画一个函数，f(a)=a^2，如果a=2 的话，那么f(a)=4。
让我们稍稍往右推进一点点，现在a=2.001 ，则f(a)≈4.004 (如果你用计算器算的话，这个准确的值应该为4.004001 我只是为了简便起见，省略了后面的部分)，
如果你在这儿点附近画，一个小三角形你就会发现，如果把a往右移动0.001，那么f(a)将增大四倍，即增大0.004。
在微积分中我们把这个三角形斜边的斜率，称为f(a)在点a=2 处的导数(即为4)，
或者写成微积分的形式，当a=2 的时候，
由此可知，函数f(a)=a^2，在a取不同值的时候，它的斜率是不同的，这和上个视频中的例子是不同的。
这里有种直观的方法可以解释，为什么一个点的斜率，在不同位置会不同如果你在曲线上，的不同位置画一些小小的三角形你就会发现，三角形高和宽的比值，在曲线上不同的地方，它们是不同的。
所以当a=2 时，斜率为4；
而当a=5时，斜率为10 。
如果你翻看微积分的课本，课本会告诉你，函数f(a)=a^2的斜率（即导数）为2a。
这意味着任意给定一点a，如果你稍微将a，增大0.001，那么你会看到f(a)将增大2a，即增大的值为点在a处斜率或导数，乘以你向右移动的距离。
现在有个小细节需要注意，导数增大的值，不是刚好等于导数公式算出来的值，而只是根据导数算出来的一个估计值。
为了总结这堂课所学的知识，我们再来看看几个例子：
假设f(a)=a^3 如果你翻看导数公式表，你会发现这个函数的导数，等于3a^2。
所以这是什么意思呢，同样地举一个例子：
我们再次令a=2，所以a^3=8 ，如果我们又将a增大一点点，你会发现f(a)≈8.012， 你可以自己检查一遍，如果我们取8.012，你会发现[2.001]^3 ，和8.012很接近，
事实上当a=2时，导数值为3×2^2，即3×4=12。
所以导数公式，表明如果你将a向右移动0.001时，f(a) 将会向右移动12倍，即0.012。
来看最后一个例子，假设f(a)=log_e a(就是log以自然数e为底，a的函数），有些可能会写作lna，函数loga 的斜率应该为1/a（学过高中数学或者微积分的人应该不陌生）
所以我们可以解释如下：
如果a取任何值，比如又取a=2，然后又把a向右边移动0.001 那么f(a)将增大1/a×0.001，如果你借助计算器的话，你会发现当a=2时f(a)≈0.69315 ；
而a=2.001时，f(a)≈0.69365。所以f(a)增大了0.0005，
如果你查看导数公式，当a=2的时候，导数值d/da f(a)=1/2。
这表明如果你把 增大0.001，f(a)将只会增大0.001的二分之一，即0.0005。
如果你画个小三角形你就会发现，如果x 轴增加了0.001，那么y 轴上的函数loga，将增大0.001的一半 即0.0005。
所以 1/a ，当a=2时这里是 ，就是当a=2时这条线的斜率。这些就是有关，导数的一些知识。
在这个笔记中，你只需要记住两点：
第一点，导数就是斜率，而函数的斜率，在不同的点是不同的。
在第一个例子中f(a)=3a ，这是一条直线，在任何点它的斜率都是相同的，均为3。
但是对于函数f(a)=a^2 ，或者f(a)=loga，它们的斜率是变化的，所以它们的导数或者斜率，在曲线上不同的点处是不同的。
第二点，如果你想知道一个函数的导数，你可参考你的微积分课本或者维基百科，然后你应该就能找到这些函数的导数公式。