牛客网 NOIP赛前集训营-普及组（第四场）C--部分和 (高维前缀和)

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解题思路

　　高维前缀和模板题。首先，求前缀和有两种方式，比如说对于求二维前缀和来说。

第一种 ：

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
        sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1];

　　这一种其实就相当于用了容斥原理。

第二种 ：

for(int i=1;i<=n;i++) sum[i][j]+=sum[i-1][j];
for(int i=1;i<=n;i++) sum[i][j]+=sum[i][j-1];

　　这一种其实相当于先求出列的前缀和，再求行的前缀和。

二维的时候这两种似乎看起来差不多，如果扩展到三维?

第一种 ：

for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=1;j<=n;j++)
       for(int k=1;k<=n;k++){
            sum[i][j][k]=sum[i-1][j][k]+sum[i][j-1][k]+sum[i][j][k-1];
             sum[i][j][k]-=sum[i-1][j-1][k]+sum[i-1][j][k-1]+sum[i][j-1][k-1];
            sum[i][j][k]+=sum[i-1][j-1][k-1];
      }

　　这样就有点麻烦了，再来看看第二种。

第二种 ：

for(int i=1;i<=n;i++) 
    for(int j=1;j<=n;j++)
        for(int k=1;k<=n;k++) sum[i][j][k]+=sum[i][j][k-1];
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
        for(int k=1;k<=n;k++) sum[i][j][k]+=sum[i][j-1][k];
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
        for(int k=1;k<=n;k++) sum[i][j][k]+=sum[i-1][j][k];

　　这样就比较舒服了。

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随着维度的不断增加，第一种方法需要容斥，这个复杂度就达到了 \(2^t\)，\(t\)表示维度。那么总的时间复杂度就是\(O(2^t*n^t)\)，第二种的复杂度则是\(O(t*n^t)\)，优秀很多。利用这个玩意，就可以算出高维前缀和，高维前缀和一般都是\(n=2\)的情况，一般来说就是求一个集合的超集或子集这类的东西。

对于这道题来说其实就是一个求子集的和。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>

using namespace std;
const int MAXN = (1<<20)+5;

inline int rd(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {f=ch=='-'?0:1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))  {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
    return f?x:-x;
}

int n,a[MAXN];

int main(){
    n=rd();for(int i=0;i<n;i++) a[i]=rd();int len=log2(n);
    for(int i=1;i<=len;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
            if((j&(1<<(i-1)))) a[j]+=a[j^(1<<(i-1))];
    for(int i=0;i<n;i++) printf("%d\n",a[i]);
    return 0;
}