牛客网NOIP赛前集训营-提高组（第四场）B 区间（单调优化）

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来源：牛客网

题目描述
给出一个序列 a1, …, an。
定义一个区间 [l,r] 是好的，当且仅当这个区间中存在一个 i，使得 ai 恰好等于 al, al+1, …, ar-1, ar 的最大公因数。
求最长的好的区间的长度。

输入描述:
第一行 n，表示序列的长度；

第二行 n 个数 a1,a2,…,an。
输出描述:
输出一行一个数，表示最长的好的区间的长度。
示例1
输入
复制
5
4 6 9 3 6
输出
复制
4
说明
选择区间 [2,5]，i=4。
备注:
对于测试点 1、2，n≤ 100；

对于测试点 3、4，n≤ 2,000；

对于测试点 5、6，n ≤ 200,000, ai≤ 100，且数据随机；

对于测试点 7、8、9，n ≤ 200,000；

对于测试点 10，没有特殊限制。

对于所有数据，n≤ 4x 10^6, 1≤ ai≤ 10^18。

解题思路：

根据题意，那么我们枚举一个 $a_i$ 作为最大公约数，以 $i$ 为中心，分别往左和往右找对 $a_i==0$ 的数字，然后我们记录一下长度，代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 4e6+5;
LL a[MAXN];
int main()
{
    int n; cin>>n;
    for(int i=0; i<n; i++) cin>>a[i];
    int ans = 1;
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        int l = i, r = i;
        for(int j=i+1; j<n; j++)
        {
            if(a[j]%a[i] == 0) r = j;
            else break;
        }
        for(int j=i-1; j>=0; j--)
        {
            if(a[j]%a[i] == 0) l = j;
            else break;
        }
        ans = max(ans, r-l+1);
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

但是这个复杂度太高，只能过 $60\%$ 的数据，因为数据全随机，所以可以过测试点5、6，那么我们来优化一下复杂度，我们发现这个是有单调性的，我们在枚举 $a_i$ 的时候，不需要每个数都枚举，如果 $a_j\%a_i==0$ 的话，那么最大公约数为 $a_i$ 的区间长度一定比最大公约数为 $a_j$ 的区间长度长，所以我们向右枚举的时候，下标 $i$ 不用每次都加1，直接跳到右侧第一个对 $\%a_i!=0$ 的下标的位置即可，这样的时间复杂度是 $O(n)$ 的。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 4e6+5;
LL a[MAXN];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false); cout.tie(0); cin.tie(0);
    int n; cin>>n;
    for(int i=0; i<n; i++) cin>>a[i];
    int ans = 1;
    for(int i=0; i<n; )
    {
        int l = i, r = i;
        for(int j=i+1; j<n; j++)
        {
            if(a[j]%a[i] == 0) r = j;
            else break;
        }
        for(int j=i-1; j>=0; j--)
        {
            if(a[j]%a[i] == 0) l = j;
            else break;
        }
        i = r+1;
        ans = max(ans, r-l+1);
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

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