牛客网NOIP赛前集训营-提高组（第二场）A 方差

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来源：牛客网

题目描述

一个长度为 m 的序列 b[1...m] ，我们定义它的方差为  ，其中   表示序列的平均值。
可以证明的是，如果序列元素均为整数，那么方差乘以 m^2 之后，得到的值一定是整数。

现在有一个长度为 N 的序列 a[1...N]，对每个 i = 1~N，你需要计算，如果我们删除 a[i]，剩下的 N-1 个元素的方差乘以 (N-1)^2 的值。

输入描述:

第一行一个整数 N。
接下来一行 N 个整数，第 i 个数表示 a[i]。

输出描述:

一行 N 个整数，第 i 个数表示删掉 a[i] 后，剩下元素的方差乘以 (N-1)^2 的值。

示例1

输入

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4
1 1 1 2

输出

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2 2 2 0

说明

依定义可以计算 {1, 1, 2} 的方差为 1/3 * (1/9 + 1/9 + 4/9) = 2/9，{1, 1, 1} 的方差为 0

备注:

对全部的测试数据，N <= 10^5, | a[i] | <= 10^4

* 30 分的数据，N <= 1000
* 30 分的数据，N <= 10^5, a[i] 只有 30 种不同的取值
* 40 分的数据，无特殊限制

对于题目给出的石子我们当然要化简了，答案要乘$(n-1)^2$不如提前乘进去，那么式子：

将n-1带入，n-1也就是公式中的m
$$\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n-1}(b_i-\overline{b})^2 \times (n-1)^2=(n-1)\times \sum_{i=1}^{n-1}(b_i-\overline{b})^2$$

下面我们继续处理这个式子：
首先我们都知道$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$
那么

$$
\begin{aligned}
(n-1)\sum_{i=1}^{n-1}(b_i-\overline{b})^2&=(n-1) \times\sum_{i=1}^{n-1}({b_i}^2+\overline{b}^2+2b_i \overline{b})\\
&=(n-1) \times \left( \sum_{i=1}^{n-1}{b_i}^2+\sum_{i=1}^{n-1} \overline{b}^2+\sum_{i=1}^{n-1}2b_i \overline{b} \right)\\
&=(n-1) \times \sum_{i=1}^{n-1}{b_i}^2+(n-1)\times \sum_{i=1}^{n-1} \overline{b}^2-(n-1)\times\sum_{i=1}^{n-1}2b_i \overline{b}\\
\text{因为}\overline{b}&=\frac{\sum_{i=1}^{n-1}b_i}{n-1}\\
&=(n-1) \times\sum_{i=1}^{n-1}{b_i}^2+(n-1)\times\overline{b}-(n-1)\times \sum_{i=1}^{n-1}{2b_i}-(n-1) \times \sum_{i=1}^{n-1}b_i\\
&=(n-1) \times \sum_{i=1}^{n-1}{b_i}^2-(\sum_{i=1}^{n-1})^2
\end{aligned}
$$

答案是每个数的平方和减去每个数和的平方
那么我们只需要记录两个前缀和对于每个数$O(1)$输出，总时间复杂度$O(n)$

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
#define LL long long
LL a[100005];
LL sum1[100005],sum2[100005],n;
// sum(bi^2-2bi*b+b^2)*(n-1)
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&a[i]);
        sum1[i]=sum1[i-1]+a[i]*a[i];
        sum2[i]=sum2[i-1]+a[i];
    }
    LL num1=(sum1[n]-sum1[1])*(n-1);
    LL num2=sum2[n]-sum2[1];
    printf("%lld",num1-num2*num2);
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        LL num1=(sum1[n]-sum1[i]+sum1[i-1])*(n-1);
        LL num2=sum2[n]-sum2[i]+sum2[i-1];
        printf(" %lld",num1-num2*num2);
    }
}