UVA - 12099 The Bookcase （DP）

题意：

将n本书放入一个三层的书架，求书架的最小面积。

分析：

定义dp[i][j][k]为对于前i本书，第二个书架的宽度为j,第三个书架的宽度为k时书架的最小总高度，我们规定最高的书放在第一个书架。在开数组时可以省掉一维，则有转移方程：

 if(j>b[i].w)
    dp[j][k]=min(dp[j-b[i].w][k],dp[j][k]);
if(j==b[i].w)
    dp[j][k]=min(dp[0][k]+b[i].h,dp[j][k]);
if(k>b[i].w)
    dp[j][k]=min(dp[j][k-b[i].w],dp[j][k]);
if(k==b[i].w)
    dp[j][k]=min(dp[j][0]+b[i].h,dp[j][k]);
但单纯这个会超时。

但是注意到每行的最大的宽度不超过总宽度的一半（具体证明我也不太会，只是感觉有点道理。以后开窍了再来补QAQ）。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn=2100;

#define inf 0x3f3f3f3f

int T,n;

struct Node{
    int h,w;
    bool operator < (const Node &t) const {
        return h>t.h;
    }
}node[100];

int dp[maxn][maxn],sum[100];

int main(){
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d",&n);
        int maxh=0,sumw=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d%d",&node[i].h,&node[i].w);
            maxh=max(maxh,node[i].h);
            sumw+=node[i].w;
        }
        sort(node+1,node+1+n);
        sum[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            sum[i]=sum[i-1]+node[i].w;
        }
        int len=sumw/2;
        for(int i=0;i<=len;i++)
            for(int j=0;j<=len;j++) dp[i][j]=inf;
        dp[0][0]=maxh;
        for(int k=2;k<=n;k++){
            for(int i=min(sum[k],len);i>=0;i--){
                for(int j=min(sum[k]-i,len);j>=0;j--){
                    if(i-node[k].w>0) dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-node[k].w][j]);
                    if(i-node[k].w==0) dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[0][j]+node[k].h);
                    if(j-node[k].w>0) dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][j-node[k].w]);
                    if(j-node[k].w==0) dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][0]+node[k].h);
                }
            }
        }
        int ans=inf;
        for(int i=1;i<=len;i++){
            for(int j=1;j<=len;j++){
                if(i+j>=sumw||dp[i][j]==(int)inf) continue;
                ans=min(ans,dp[i][j]*max(sumw-i-j,max(i,j)));
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}