链接

题解

水平低啊，自己想不出来啊
要尽可能地利用题目里隐含地条件来解题，这道题其实暗含一些条件
首先，最高的书肯定所在的书架的高度就等于这本书的高度，也就是说第一层的高度已经确定了
其次，三层的宽度之和是定值，等于所有书的宽度和
也就是说，如果我枚举其中两层的宽度，第三层的宽度就算出来了，
那么我枚举第二层和第三层的宽度，第一层的宽度就知道了
假设第二层第三层的宽度分别为 $j,k$ ，那么第一层的宽度就等于 $W-j-k$ ， $W$ 表示所有书的宽度之和，书架的宽度就等于三层宽度的最大值
要使宽度乘以高度和最小，就要使高度和最小，第一层的高度已知，所以就是使二三两层的高度之和最小
现在问题就成了，我知道了三层的宽度分别是多少，要求一种摆放方式使得第二第三层的高度和最小
首先想到的是：能不能贪心？仔细思考之后，发现这似乎无法贪心，而类似于一个背包问题，因为你要把每本书装进三个背包中的一个，直接贪心的话，在每一层的尾端可能无法处理
现在考虑前 $i-1$ 本书已经装好，假设我记录了 $f[i][j][k]$ 表示已经装进了前 $i$ 本书，第二层宽度为 $j$ ，第三层宽度为 $k$ ，二三两层的最小高度之和，那么考虑我装入第 $i$ 本书，由于我不知道之前怎么装的，也就无法确定这本书和已经装入的书的大小关系，所以我无法确定这本书装进去之后该不该更新答案、怎么更新
那就自然想到排个序，按照高度递减给书排个序，这样如果之前一层书架里面有书，后来装的就不会对书架的高度造成影响
那么继续想转移，如果我想把它装进第一层，就是 $f[i][j][k]=f[i-1][j][k]$ ，
如果装进第二层，就要分类讨论，如果之前这一层没有书，那么放进去的这本书就会决定这一层的高度，否则这层的高度就不变，第三层同理

for(i=1 to N)for(j=0 to W)for(k=0 to W)
    {
        f[i][j][k]=f[i-1][j][k];
        if(bk[i].w<j)f[i][j][k]=min(f[i][j][k],f[i-1][j-bk[i].w][k]);
        if(bk[i].w==j)f[i][j][k]=min(f[i][j][k],f[i-1][0][k]+bk[i].h);
        if(bk[i].w<k)f[i][j][k]=min(f[i][j][k],f[i-1][j][k-bk[i].w]);
        if(bk[i].w==k)f[i][j][k]=min(f[i][j][k],f[i-1][j][0]+bk[i].h);
    }

数组开不下，要省掉第一维
只这样还是过不了的，需要一点特技来优化
显然我们想要优化j和k的枚举范围，原先是枚举到所有书的宽度和 $W$
但是实际上不可能有这样的方案，至少每层有一本书
我现在试图找到一个面积的上界，然后找一个高度的下界，两者相除找到一个宽度的上界
都知道正方形面积最大，这里也适用，因为书的宽度 $\leq 30$ ，尽量平均一点放，可以让任意两行的宽度之差小于 $60$ （可以用假设法证明）
这样得到一个比实际宽度大一点的数 $\frac{W}{3}+60$ ，高度假设都是最高的书的高度 $H$ ，那么这个面积上界就是 $S=H(\frac{W}{3}+60)$
然后找一个高度的极小值，我们希望这个极小值尽量大一点，假设最高的书高度为 $H$ ，通过原题的数据范围，发现高度不小于 $150$ ，那就假设最矮的书都是 $150$ ，三层的高度之和的比较大的极小值就是 $H+300$ ，
因此构造出一个 $j,k$ 的上界 $M=S/(H+300)$
到这里就不超时了

思想提取

要善于利用隐含条件来去掉一维，以降低思维难度，比如某些和为定值

代码

//DP 
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define maxn 100
#define cl(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define iinf 0x3f3f3f3f
#define fil(x) memset(x,iinf,sizeof(x))
using namespace std;
int N, f[2110][2110];
struct book
{
    int h, w;
}bk[maxn];
bool operator<(book b1, book b2){return b1.h>b2.h;}
void init()
{
    fil(f), cl(bk);
    int i;
    scanf("%d",&N);
    for(i=1;i<=N;i++)scanf("%d%d",&bk[i].h,&bk[i].w);
    sort(bk+1,bk+N+1);
}
int max(int a, int b, int c)
{
    return max(max(a,b),c);
}
void dp()
{
    int i, j, k, ans=iinf, W=0, M;
    for(i=1;i<=N;i++)W+=bk[i].w;
    M=(W/3.0+60)*(3*bk[1].h)/(2*bk[1].h);
    for(j=0;j<=M;j++)for(k=0;k<=M;k++)f[i][j]=iinf;
    f[0][0]=0;
    for(i=2;i<=N;i++)for(j=M;j>=0;j--)for(k=M;k>=0;k--)
    {
        if(bk[i].w<j)f[j][k]=min(f[j][k],f[j-bk[i].w][k]);
        if(bk[i].w==j)f[j][k]=min(f[j][k],f[0][k]+bk[i].h);
        if(bk[i].w<k)f[j][k]=min(f[j][k],f[j][k-bk[i].w]);
        if(bk[i].w==k)f[j][k]=min(f[j][k],f[j][0]+bk[i].h);
    }
    for(j=0;j<=M;j++)for(k=0;k<=M;k++)if(f[j][k]<iinf and j and k)ans=min(ans,max(j,k,W-j-k)*(f[j][k]+bk[1].h));
    printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
    int T;
    for(scanf("%d",&T);T--;)init(), dp();
    return 0;
}

poj3124 The Bookcase

链接

题解

思想提取

代码

猜你喜欢