堆与优先队列

1.定义

优先队列

　　队列是一个操作受限的线性表，数据只能在一端进入，另一端出来，具有先进先出的性质。有时在队列中需要处理优先级的情况，即后面进入的数据需要提前出来，这里就需要优先队列。优先队列是至少能够提供插入和删除最小值这两种操作的数据结构。对应于队列的操作，插入相当于入队，删除最小相当于出队。
　　链表，二叉查找树，都可以提供插入和删除最小这两种操作。对于链表的实现，插入需要O(1)，删除最小需要遍历链表，故需要O(N)。对于二叉查找树，这两种操作都需要O(logN)；而且随着不停的删除最小的操作，二叉查找树会变得非常不平衡；同时使用二叉查找树有些浪费，因此很多操作根本不需要。一种较好的实现优先队列的方式是二叉堆（下面简称堆）。
　　
堆

　　堆实质上是满足如下性质的完全二叉树：树中任一非叶结点的关键字均不大于（或不小于）其左右孩子（若存在）结点的关键字。首先堆是完全二叉树（只有最下面的两层结点度能够小于2，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树），其次任意节点的左右孩子（若有）值都不小于其父亲，这是小根堆，即最小的永远在上面。相反的是大根堆，即大的在上面。
　　因为完全二叉树有很好的规律，因此可以只用数据来存储数据而不需要链表。

二.堆的基本操作

堆的结构定义

typedef struct HNode *Heap; /* 堆的类型定义 */
struct HNode {
    ElementType *Data; /* 存储元素的数组 */
    int Size;          /* 堆中当前元素个数 */
    int Capacity;      /* 堆的最大容量 */
};
typedef Heap MaxHeap; /* 最大堆 */
typedef Heap MinHeap; /* 最小堆 */
 
#define MAXDATA 1000  /* 该值应根据具体情况定义为大于堆中所有可能元素的值 */

堆的创建

MaxHeap CreateHeap( int MaxSize )
{ /* 创建容量为MaxSize的空的最大堆 */
 
    MaxHeap H = (MaxHeap)malloc(sizeof(struct HNode));
    H->Data = (ElementType *)malloc((MaxSize+1)*sizeof(ElementType));
    H->Size = 0;
    H->Capacity = MaxSize;
    H->Data[0] = MAXDATA; /* 定义"哨兵"为大于堆中所有可能元素的值*/
 
    return H;
}

堆的插入（最大）

你一个很自然的想法就是插入到数组的最后，所以

此时没有破坏堆的有序性

此时有序性被破坏，所以交换35与31即可

这个也一个道理，只不过要调整两次

bool Insert( MaxHeap H, ElementType X )
{ /* 将元素X插入最大堆H，其中H->Data[0]已经定义为哨兵 */
    int i;
  
    if ( IsFull(H) ) { 
        printf("最大堆已满");
        return false;
    }
    i = ++H->Size; /* i指向插入后堆中的最后一个元素的位置 */
    for ( ; H->Data[i/2] < X; i/=2 )
        H->Data[i] = H->Data[i/2]; /* 上滤X */
    H->Data[i] = X; /* 将X插入 */
    return true;
}

判满

bool IsFull( MaxHeap H )
{
    return (H->Size == H->Capacity);
}

堆的删除操作（最大）

ElementType DeleteMax( MaxHeap H )
{ /* 从最大堆H中取出键值为最大的元素，并删除一个结点 */
    int Parent, Child;
    ElementType MaxItem, X;
 
    if ( IsEmpty(H) ) {
        printf("最大堆已为空");
        return ERROR;
    }
 
    MaxItem = H->Data[1]; /* 取出根结点存放的最大值 */
    /* 用最大堆中最后一个元素从根结点开始向上过滤下层结点 */
    X = H->Data[H->Size--]; /* 注意当前堆的规模要减小 */
    for( Parent=1; Parent*2<=H->Size; Parent=Child ) {
        Child = Parent * 2;
        if( (Child!=H->Size) && (H->Data[Child]<H->Data[Child+1]) )
            Child++;  /* Child指向左右子结点的较大者 */
        if( X >= H->Data[Child] ) break; /* 找到了合适位置 */
        else  /* 下滤X */
            H->Data[Parent] = H->Data[Child];
    }
    H->Data[Parent] = X;
 
    return MaxItem;
}

最大堆的建立

先给代码

/*----------- 建造最大堆 -----------*/
void PercDown( MaxHeap H, int p )
{ /* 下滤：将H中以H->Data[p]为根的子堆调整为最大堆 */
    int Parent, Child;
    ElementType X;
 
    X = H->Data[p]; /* 取出根结点存放的值 */
    for( Parent=p; Parent*2<=H->Size; Parent=Child ) {
        Child = Parent * 2;
        if( (Child!=H->Size) && (H->Data[Child]<H->Data[Child+1]) )
            Child++;  /* Child指向左右子结点的较大者 */
        if( X >= H->Data[Child] ) break; /* 找到了合适位置 */
        else  /* 下滤X */
            H->Data[Parent] = H->Data[Child];
    }
    H->Data[Parent] = X;
}
 
void BuildHeap( MaxHeap H )
{ /* 调整H->Data[]中的元素，使满足最大堆的有序性  */
  /* 这里假设所有H->Size个元素已经存在H->Data[]中 */
 
    int i;
 
    /* 从最后一个结点的父节点开始，到根结点1 */
    for( i = H->Size/2; i>0; i-- )
        PercDown( H, i );
}