【数据结构与算法分析】第六章优先队列（堆）

一般来说，短的作业应尽可能快的结束，则已经被运行的作业当中这些短作业应拥有优先权，此外，有些作业虽不短小但也很重要，也应该拥有优先权。

1.模型

优先队列允许下列两种操作：

Insert(插入)，等价于入队，即插入内容

DeleteMin(删除最小者)，等价于出队，它的工作是找出、返回和删除优先队列中的最小元素。

2.二叉堆

二叉堆，堆的一种特殊的堆，一般用于实现优先队列，此节中将二叉堆称为堆

二叉堆的性质：结构性和堆序性

2.1结构性质

基本概念：

满二叉树：一棵被完全填满的二叉树

完全二叉树：若设二叉树的深度为h，除第h 层外，其它各层(1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树

注意：满二叉树是特殊的完全二叉树，二叉堆为满二叉树或完全二叉树

此完全二叉树的数组实现为：

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13

对于数组中任一位置i上的元素，其左儿子在位置2i上，右儿子在（2i+1）上，父亲在i/2上

优先队列的声明：

#ifndef _BinHeap_H
struct HeapStruct;
typedef struct HeapStruct *PriorityQueue;
PriorityQueue Initialize(int MaxElements);
void Destroy(PriorityQueue H);
void MakeEmpty(PriorityQueue H);
void Insert(ElementType X,PriorityQueue H);
ElementType DeleteMin(PriorityQueue H);
ElementType FindMin(PriorityQueue H);
int IsEmpty(PriorityQueue H);
int Isfull(PriorityQueue H);
#endif
struct HeapStruct
{
    int Capacity；//最大值的整数
    int Size;//当前堆的大小
    ElementType *Elements;//一个数组
}

堆数据结构组成：

一个数组（不管关键字是什么类型），一个代表最大值的整数和当前堆的大小

2.2堆序性质

使操作被快速执行的性质是堆序性。

堆序性：在一个堆中，对于每一个节点X，X的父节点的关键字小于或等于X的关键字，根节点除外（无父节点），即父节点均小于或等于子节点

如图，只有左边为堆

创建一个优先队列：

PriorityQueue Inialize(int MaxElements)
{
    PriorityQueue H;
    if(MaxElements < MinPQSize)
        Error("queue size is too small");
    H=malloc(sizeof(struct HeapStruct));//分配堆的空间
    if(H==NULL)
        FatalError("out of space");
    H->Elements=malloc((MaxElements + 1)*sizeof(ElementType));//分配数组的空间，加1是设置哨兵防止出界
    if(H->Elements==NULL)
        FatalError("out of space");
    H->Capacity=MaxElements;
    H->Size=0;
    H->Elements[0]=MinData;
    return H;
}

2.3基本的堆操作

2.3.1 Insert插入

为将一个元素X插入到堆中，在下一个空闲位置创建一个空穴，否则该堆将不是完全树。如果X可以放在空穴中而并不破坏堆的序，那么插入成功。否则，我们把空穴的父节点上的元素移入该空穴，这样空穴就朝根的方向行一步

继续该过程直到X能被放入空穴中为止

插入到一个二叉堆的过程：

void Insert(ElementType X,PriorityQueue H)
{
    int i;
    if(IsFull(H))
    {
        Error("Priority queue is full");
        return;
    }
    for(i=++H->Size;H->Elements[i/2]>X;i/=2)
        H->Elements[i]=H->Elements[i/2];
    H->Elements[i]=X;
}

2.3.2DeleteMin(删除最小元)

（1）最小元在跟节点，删除后在根节点会产生一个空穴，由于现在堆少了一个元素，则堆最后一个元素X必须移到堆中的某个位置，如图

（2）将空穴的两子节点中较小者移入空穴，这样就把空穴向下推了一层，如图

（3）重复第二步，直到X能被放入空穴中

在二叉堆中执行DeleteMin的函数：

ElementType DeleteMin(PriorityQueue H)
{
    int i,child;
    ElementType MinElement,LastElement;
    if(IsEmpty(H))
    {
        Error("Priority queue is empty");
        return H->Elements[0];
    }
    MinElement=H->Elements[1];
    LastElement=H->Elements[H->Size--];
    for(i=1;i*2<=H->Size;i=child)
    {
        child =i*2;
        if(child!=H->Size&&H->Elements[child+1]<H->Elements[child])
            child++;
        if(LastElement>H->Elements[child])
            H->Elements[i]=H->Elements[child];
        else
            break;
    }
    H->Elements[i]=LastElement;
    return MinElement;
}