十二平均律的数学描述

mywang88

2018年9月28日

1. 声音的物理特性

声音的本质，是空气的震动。

人听到外界的声音大致需要经历以下几个步骤：

发声体（例如人的声带、各种乐器）发生特定的震动，也包括了发声体内部的空气的震动。这种震动有时会呈现出一定的规律性，例如形成乐音的震动一般具有固定的震动频率。
震动的发声体带动了其表面的空气，使空气也产生了与发声体震动方式相似的震动。这种震动，在空气中，会以纵波的形式，向远离发声体的方向传播。同时，发声体内部如果与外部连通的话，其内部的空气的震动也会从开口处（例如喇叭口）传播到外部。这种在空气中传播的震动，也被称为声波。
从发声体处产生的声波，通过空气向远处传播（中间往往会发生一定的反射和折射等），最终进入人的耳朵，带动听觉器官（耳膜和听小骨）发生相应的震动。
听觉器官将本身的震动转化为神经信号，传递到人的大脑的听觉中枢。听觉中枢对神经信号进行解析，最终形成了人听到的声音。

2. 音高的概念

前文提到，形成乐音的震动一般具有固定的震动频率。那么“乐音”指的是什么呢？

在这里“乐音”可以被理解为比较好听的音，也可以被理解为用来构造旋律的音，实际上，“具有固定的震动频率”本身，通常也被直接用作乐音的定义。

一个乐音的震动频率越高，给人的感觉就越高亢，相反，一个乐音的震动频率越低，给人的感觉就越低沉。为了体现这种高亢或是低沉的程度，人们定义了音高。

音高：声音的“高度”，由震动的频率决定。

举例来说，钢琴键盘上，自左向右，琴键对应的音的频率逐渐提高，音高也逐渐提高。

最常用的描述频率的单位是赫兹，英文为 Hz，它表示震动体在每秒钟内震动的周期数。它的数值越大，就代表震动体震动的频率越高，音高也就越高。

举例来说，钢琴键盘上，中央C键发出的音的频率约为261.6 Hz。

3. 八度音程

前文提到，音高由频率决定。频率相同的两个音具有相同的音高。

那么，不同音高的音之间的关系，也就由它们各自的的频率的数学关系决定。后文将会进一步阐述，这里的数学关系，指的主要是两个音的频率的比值。

人们将两个不同音高（频率）的音之间的相对“差距”，称为“音程”。

在所有的音程，即音高的频率关系中，最基础的就是“八度”音程。反映在频率关系上，两个相距八度音程的音，其频率的比值为 1 比 2 。

举例来说，如果一个音的频率为 220 Hz，那么，比它高一个八度的音的频率就是 440 Hz，同理，比它低一个八度的音的频率就是 110 Hz。

之所以说八度音程最基础，是因为高八度的音的震动信号中，（只要将原本的两个震动周期看做一个，）同时也存在了比其低八度的音的频率。同时，当两个音同时奏响的时候，每过单位周期，它们就会重合一次，听起来就像是一个音。篇幅所限，本文对此将不做进一步解释。

举例来说，当我们在卡拉OK随着伴奏唱歌的时候，男生唱女生的歌常常会降低八度来唱，而女生唱男生的歌常常会升高八度来唱。虽然有时听起来会有点怪，但这样演唱的话依然可以保证与伴奏一致。之所以会这样，正是由于相隔八度的音，其内部存在本质的联系，使它们听起来十分相似。

4. 更小的音程 & 八度的分割

前文提到，频率比值为 1:2 的两个音之间的音程为八度音程。

那么其它的频率比值，所对应的音程是什么呢？

事实上，在旋律的进行中，更常出现的往往是比八度音程更“短”的音程。

经过数千年的实践，人们将八度音程，依据特定的数学规律，分割成了数个更小的音程，并用它们来构造旋律。

这种分割方法的思路是这样的：

假设两个音的频率分别为 1 和 2，分割音程就是在 1 到 2 之间插入数个其它频率的音。
决定音程的是频率的比值，因此最重要的参考量就是相邻的两个音的频率比值。
不同的音都是“平等”的，这种分割应该是“均匀”的，那么，相邻的两个音的频率比值应该是统一的。

接下来我们用数学的语言来描述这种分割：

假设，将八度音程“均匀”分割为 $n$ 份，相邻的两个音的频率比值为 $k$ ，那么：
$1 \times \underset{共 n 个}{\underbrace{ k \times k \times \cdots \times k }}= 2$
更常见地：
$110 Hz \times \underset{共 n 个}{\underbrace{ k \times k \times \cdots \times k }}= 220 Hz$
$n$ 与 $k$ 的关系还可以更简单地表示为：
$k^n = 2$
或者：
$2^{\frac{1}{n}}=k$
那么， $n$ 的选值是任意的吗？答案是否定的。

事实上，在人类发展出的音乐体系中， $n$ 的选值是唯一的，那就是 12 。这是一个“冥冥中注定的数字”。

5. 十二平均律 & 半音

12，是一个“冥冥中注定的数字”。

将八度音程均匀地分割为 12 份的做法，正是 十二平均律 的内涵。音乐家巴赫在此处应该被提及。

在本节中，我们先略过“冥冥中注定”，来介绍分成十二份后的结果。

将 $n = 12$ 代入，有：

$1 \times \underset{共 12 个}{\underbrace{ k \times k \times \cdots \times k }}= 2$

那么：

$k = 2^{\frac{1}{12}} \approx 1.059463094359295$

$k$ 是一个无理数（无限不循环小数）。

频率比值为 $k$ 的两个音之间的音程，称为“半音”，它还被称为“小二度”。

半音，是人类音乐体系中最小的音程，换句话说，半音可以充当音程的单位。

十二平均律的内涵，正是将八度音程，均匀地分割为十二个半音。

6. 举个例子：十二平均律 & 利滚利

在前文对十二平均律的描述中，涉及了一些数学概念。数学公式是简洁的，但并不是所有人都理解，因此，本节引入利滚利的模型，帮助进一步说明。

假设有一个一年期的理财产品，产品年利率为：

$2^{\frac{1}{12}} - 1 \approx 1.059463094359295 - 1 \approx 5.9463 \%$

将1万元本金购买该理财产品，则1年后，本金加利息将变为：

$1 万 \times 2^{\frac{1}{12}} \approx 1.059463094359295 万$

假设年利率不变，将本金加利息再次购买该理财产品，并在每次到期时进行相同的操作。

12年后，本金加利息将变为：

$1 万 \times (2^\frac{1}{12})^{12} = 1 万 \times 2 = 2 万$

在本例中，每年本金加利息增长的比率，可以类比为音程相隔半音的两个音的频率的比值。在增长了 12 次后，本金加利息变为最初的 2 倍，即音高增长了一个八度。

下表为存放不同年数后对应的本金加利息总额：

年数	0	1	2	3	4	5
总额	1	1.0595	1.1225	1.1892	1.2599	1.3348
6	7	8	9	10	11	12
1.4142	1.4983	1.5874	1.6818	1.7818	1.8877	2

7. 冥冥中注定的数字

假设一个音的频率为 $f_0$ ，那么，比它高 $m$ 个半音的音的频率 $f_1$ 为：

$f_1 = f_0 \times 2^{\frac{m}{12}}$

$m = 12$ 时对应的就是八度音程。

将不同的 $m$ 的值代入，将得到上节最后的表格。

在这个表格中，最值得注意的是两个数字：

$m = 5$ 对应着 1.3348； $m = 7$ 对应着 1.4983。这是两个特殊的数字：

$1.3348 \approx \frac{4}{3}$
$1.4983 \approx \frac{3}{2}$

这意味着，相距 5 个半音的两个音的频率比约为 4:3 ；相距 7 个半音的两个音的频率比约为 3:2 。它们是两个值很小的整数的比值！

当两个音的频率比值为两个较小的整数比时，每过很短时间（周期的最小公倍数），它们就会“重合”一次。这种现象被称为“共振”或者“谐振”。两个整数的值越小，就意味着共振越显著。

在所有“共振”的情形中，最显著的当然是 2:1 的频率比，它对应了八度音程。

接下来的就是 3:1 、3:2 、4:1 、4:3 等比值。

4:1 实际上是两个 2:1 的乘积，它对应了 2 个八度音程。

3:1 实际上是 2:1 和 3:2 的乘积。

3:2 和 4:3 正是紧随其后的最显著的共振频率比，它们所对应的音程又被称为“纯五度”和“纯四度”。这两个音程是如此的重要，以至于，任何一种对八度音程的分割方案中，必须包含这两个音。

对八度音程的均匀分割，使用的数学工具是幂函数，即等比数列，做开方运算。这种运算的所得的结果是一组无理数（无限不循环小数），而不是分数（两个整数的比值）。因此，要包含 3:2 和 4:3 所对应的音程，就只能是它们的近似值。

因此，让我们再次回顾第 4 节，八度的分割方法的思路中，还需要外加一条：

分割结果中应包含 3:2 和 4:3 的近似值！

我们会发现（在一定的范围内），十二将是唯一满足要求的分割份数的选项！

这一切都是因为：

$2^{\frac{7}{12}} \approx \frac{3}{2}$

与其说这是一个数学上的巧合，不如说这是“这个宇宙冥冥中的注定”。

8. 再举个例子：假如历史被“微调”

在距今数十亿年的遥远的史前时代，那时地球上还没有生命，也没有海洋。

月球形成了，当然，也可能是“飞来了“。

与我们现在所在的时空不同的是，在本故事的平行时空中，当时月球距离地球的距离要比我们这个时空稍微远了一点点。

由于远了一点点，月球围绕地球的公转速度也会相应的变慢（参见万有引力定律）。结果，在一年中（地球围绕太阳公转一周），月球围绕地球公转了 18 圈，而不是我们这个时空的 12 圈（多一点）。

几十亿年后，这个平行时空中的地球上也诞生了人类文明。

可是问题来了：他们的历法与我们的有明显的不同！他们的经验使得他们不自觉地将一年分为了18个“月”，而每个月的天数是20天或21天！

他们与我们的身体构造在进化的过程中也产生了很轻微的区别：他们双手都只有 4 只手指。

于是当他们开始发明数字时，发现得“逢八进一”，而不是“逢十进一”。最终，他们的数学首先建立在了八进制上，他们使用八进制就像我们使用十进制一样自然。

历法变了，计数法变了，那么什么没有变呢？

冥冥中注定的都没有变！

他们发现了勾股定理，发现了圆周率，发现了十二平均律，发现了自然底数，他们也意识到了，这些都是这个宇宙冥冥中注定的！

9. 十二平均律 & 音阶系统

让我们回到自己所在时空。

在人类的数学发展到可以计算出十二平均律对饮的各个音的频率的精确值之前，人类就已经开始下意识地使用它的结果了。

人们从这 12 个音中选出了几个，并把它们延拓到更高和更低的八度中，构成了音阶系统，并用它们排列组合出了旋律音乐。

具体选出几个，选哪几个，这个问题并非只有唯一的答案。实际上，不同民族、不同地域、不同时代的人们拿出了不同的方案。

篇幅所限，本文只列出众多音阶系统中的两个：

音程的半音数	相对频率比值	自然七声音阶唱名	中国五声音阶唱名
0	1	do	宫
1	1.0595
2	1.1225	re	商
3	1.1892
4	1.2599	mi	角
5	1.3348	fa
6	1.4142
7	1.4983	sol	徵
8	1.5874
9	1.6818	la	羽
10	1.7818
11	1.8877	si
12	2	do	宫

这个表所阐述的最直观的结果是：相邻的两个音之间的“距离”并不都是相等的。

不同的音阶系统，选择了不同的音来构成旋律音乐，但这些音都是从最基本十二个音中选出来的。

写在最后

音乐理论是一门很系统的科学，由于笔者水平和篇幅的限制，本文难免存在疏漏。

在分享自己的经验和理解之余，写作本文的另一个动机，实际上是锻炼笔者的写作能力，试着把自己的观点系统地阐述明白。

欢迎读者的评论和指正，这将帮助改善本文。