贪心-最优装载问题

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有一批集装箱,要装上一艘载重量为c的轮船。其中集装箱i的重量为wi。

最优装载问题要求确定在装载体积不受限制的情况下，将尽可能多的集装箱装上轮船。

最优装载问题问题的形式描述：

•问题的形式描述是：给定c＞0，wi＞0，1≤i≤n，求n元0-1向量

     (x1, x2, …, xn)，使得

输入：集装箱的数目n，船的载重量c，集装箱i的重量为wi。

输出：集装箱i是否装船，是的话输出1，反之输出0.

运行结果：

最优装载问题可用贪心算法求解。采用重量最轻者先装的贪心选择策略，可产生最优装载问题的最优解。

根据w从小到大排序，t中保存数组下标,用的是简单的冒泡排序。

template <class Type>
void Sort(Type *w, Type *t, int n)
{
    int i, j;

    for(i = 1; i <= n; i++)
        t[i] = i;
    for(i = 1; i <= n; i++)
        for(j = i+1; j <= n; j++)
            if(w[t[i]] > w[t[j]])
                swap(t[i], t[j]);
}

主要计算量为按照重量从小到大排序，算法时间复杂度O(nlogn).

template <class Type>
void Loading(int *x, Type *w, Type c, int n)
{
    int *t, i;

    t = new int[n+1];
    for(i = 1; i <= n; i++)                  //初值
        x[i] = 0;
    Sort(w, t, n);                           //t按重量排序的数组下标
    for(i = 1; i <= n && w[t[i]] <= c; i++)
    {
        x[t[i]] = 1;
        c -= w[t[i]];
    }
}

贪心选择性质:

设集装箱已按其重量由小到大排序, (x1, x2, …, xn)是最优装载问题的一个最优解. 令

若给定最优装载问题有解, 则1≤k ≤n.

 (1) 当k=1时, (x1, x2, …, xn)是一个满足贪心选择性质的最优解;

 (2) 当k>1时, 取y1=1, yk=0, yi=xi, 1<i≤n, i≠k, 则

故(y1, y2, …, yn)是所给最优装载问题的一个可行解.

而由(y1+ y2+ … + yn)= (x1+ x2+ …+ xn)知, (y1, y2, …, yn)是一个满足贪心选择性质的最优解.

最优装载问题具有贪心选择性质。

最优子结构性质:

若(x1, x2, …, xn)是最优装载问题的一个满足贪心选择性质的最优解, 则有x1=1。

 (x2, …, xn)是轮船载重量为c-w1且待装集装箱为{2, 3, …, n}时, 相应最优装载问题的一个最优解.

最优装载问题具有最优子结构性质。

由最优装载问题的贪心选择性质和最优子结构性质，容易证明算法loading的正确性。

算法loading的主要计算量在于将集装箱依其重量从小到大排序，故算法所需的计算时间为 O(nlogn)。