一.回溯法
回溯法采用的是深度优先策略，回溯法按深度优先策略搜索问题的解空间树。首先从根节点出发搜索解空间树，当算法搜索至解空间树的某一节点时，先利用剪枝函数判断该节点是否可行（即能得到问题的解）。如果不可行，则跳过对该节点为根的子树的搜索，逐层向其祖先节点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。
(1)三个步骤：
1.针对所给问题，定义问题的解空间；
2.确定易于搜索的解空间结构；
3. 以深度优先的方式搜索解空间。
(2)优化方法：
搜索过程使用剪枝函数来为了避免无效的搜索。剪枝函数包括两类：
1.使用约束函数，剪去不满足约束条件的路径。
2.使用限界函数，剪去不能得到最优解的路径。
(3)解空间树的类型分为排列树和子集树。
二.0-1背包问题
问题：给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为pi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 4 #define N 100 //默认有99个物品。第一个不使用 5 int w[N]; //每个物品的重量 6 int v[N]; //每个物品的价值 7 int x[N]; //x[i]=1：物品i放入背包，0代表不放入 8 int n,c; //n：一共有多少物品，c：背包的最大容量 9 10 int CurWeight = 0; //当前放入背包的物品总重量 11 int CurValue = 0; //当前放入背包的物品总价值 12 13 int BestValue = 0; //最优值；当前的最大价值，初始化为0 14 int BestX[N]; //最优解；BestX[i]=1代表物品i放入背包，0代表不放入 15 16 /* 17 *回溯函数 参数t表示当前处在第几层做抉择，t=1时表示当前在决定是否将第一个物品放入背包 18 */ 19 void backtrack(int t) 20 { 21 //叶子节点，输出结果 22 if(t>n) 23 { 24 //如果找到了一个更优的解 25 if(CurValue>BestValue) 26 { 27 //保存更优的值和解 28 BestValue = CurValue; 29 for(int i=1; i<=n; ++i) 30 BestX[i] = x[i]; 31 } 32 } 33 else 34 { 35 //遍历当前节点的子节点：0 不放入背包，1放入背包 36 for(int i=0; i<=1; ++i) 37 { 38 x[t]=i; 39 40 if(i==0) //不放入背包 41 { 42 backtrack(t+1); 43 } 44 else //放入背包 45 { 46 //约束条件：当前物品是否放的下 47 if((CurWeight+w[t])<=c) 48 { 49 CurWeight += w[t]; 50 CurValue += v[t]; 51 backtrack(t+1); 52 CurWeight -= w[t]; 53 CurValue -= v[t]; 54 } 55 } 56 } 57 } 58 } 59 60 int main() 61 { 62 63 cout<<"请输入物品的个数："<<endl; 64 cin>>n; 65 cout<<"请输入每个物品的重量及价值(如5 4):"<<endl; 66 for(int i = 1; i <= n; i++) 67 { 68 cin>>w[i]>>v[i]; 69 } 70 cout<<"请输入背包的限制容量："<<endl; 71 cin>>c; 72 73 backtrack(1); 74 75 cout<<"最优值是:"<<BestValue<<endl; 76 cout<<"("; 77 for(int i=1;i<=n;i++) 78 cout<<BestX[i]<<" "; 79 cout<<")"; 80 return 0; 81 }
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 4 #define N 100 //默认有99个物品。第一个不使用 5 int w[N]; //每个物品的重量 6 int v[N]; //每个物品的价值 7 int x[N]; //x[i]=1：物品i放入背包，0代表不放入 8 int n,c; //n：一共有多少物品，c：背包的最大容量 9 10 int CurWeight = 0; //当前放入背包的物品总重量 11 int CurValue = 0; //当前放入背包的物品总价值 12 13 int BestValue = 0; //最优值；当前的最大价值，初始化为0 14 int BestX[N]; //最优解；BestX[i]=1代表物品i放入背包，0代表不放入 15 16 void input() 17 { 18 cout<<"请输入物品的个数："<<endl; 19 cin>>n; 20 cout<<"请输入每个物品的重量及价值(如5 4):"<<endl; 21 for(int i = 1; i <= n; i++) 22 { 23 cin>>w[i]>>v[i]; 24 } 25 cout<<"请输入背包的容量："<<endl; 26 cin>>c; 27 } 28 void output() 29 { 30 cout<<"最优值是:"<<BestValue<<endl; 31 cout<<"("; 32 for(int i=1;i<=n;i++) 33 cout<<BestX[i]<<" "; 34 cout<<")"; 35 36 } 37 /* 38 *回溯函数 参数t表示当前处在第几层做抉择，t=1时表示当前在决定是否将第一个物品放入背包 39 */ 40 void backtrack(int t,int CurWeight,int CurValue,int rw,int x[]) 41 { 42 //初始调用时rw为所有物品重量和 43 if(t>n) 44 { 45 //如果找到了一个更优的解 46 if(CurWeight==c&&CurValue>BestValue) 47 { 48 //保存更优的值和解 49 BestValue = CurValue; 50 for(int i=1; i<=n; ++i) 51 BestX[i] = x[i]; 52 } 53 } 54 else 55 { 56 //遍历当前节点的子节点：0 不放入背包，1放入背包 57 if(CurWeight+w[t]<=c) //左孩子结点剪枝 58 { 59 x[t]=1;//选取第i个物品回溯 60 backtrack(t+1,CurWeight+w[t],CurValue+v[t],rw-w[t],x); 61 } 62 x[t]=0;//不选取第i个物品回溯 63 if(CurWeight+rw>c)//右孩子结点剪枝 64 backtrack(t+1,CurWeight,CurValue,rw-w[t],x); //rw都减去w[t]代表已经考虑过是否选取当前物品，不必再考虑 65 } 66 67 } 68 69 int main() 70 { 71 72 input(); 73 backtrack(1,0,0,11,x); 74 output(); 75 return 0; 76 }