JZOJ-senior-1773. 【NOIP动态规划专题】猴子

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Description

一个猴子找到了很多香蕉树，这些香蕉树都种在同一直线上，而猴子则在这排香蕉树的第一棵树上。这个猴子当然想吃尽量多的香蕉，但它又不想在地上走，而只想从一棵树跳到另一棵树上。同时猴子的体力也有限，它不能一次跳得太远或跳的次数太多。每当他跳到一棵树上，它就会把那棵树上的香蕉都吃了。那么它最多能吃多少个香蕉呢？

Input

输入第一行为三个整数，分别是香蕉树的棵数N，猴子每次跳跃的最大距离D，最多跳跃次数M。 　　下面N行每行包含两个整数，ai，bi，分别表示每棵香蕉树上的香蕉数，以及这棵树到猴子所在树的距离。输入保证这些树按照从近到远排列，并且没有两棵树在同一位置。b0总是为0。

Output

输出只有一行，包含一个整数，为猴子最多能吃到的香蕉数。

Sample Input

5 5 2 6 0 8 3 4 5 6 7 9 10

Sample Output

20

Data Constraint

ai<=10000,D<=10000 100%的数据有M<N<=2000,bi<=10000

Solution

• 显然DP，设 $f_{i,j}$ 表示跳了 $i$ 次，到达第 $j$ 棵树上的能吃到的最多的香蕉数
• 那么 $f_{i,j}=max({f_{i-1,k}+a[j]}$)(b[j]-b[k]<=D)
• 乍一看， $O(n^3)$，于是考虑优化DP
• 容易发现，对于跳同样步数的决策 $j,k(j&lt;k)$
• 要是决策 $k$ 不仅能吃到更多的香蕉，而且能到达更远的位置，那么决策 $j$ 就没有了意义
• 于是我们用单调队列优化即可

Code

#include<algorithm>
#include<cstdio>

#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)

using namespace std;

const int N=2010;
int n,m,k,ans;
int a[N],d[N],q[N],f[N][N];

int main()
{
	freopen("monkey.in","r",stdin);
	freopen("monkey.out","w",stdout);
	scanf("%d%d%d",&n,&k,&m);
	fo(i,1,n) scanf("%d%d",&a[i],&d[i]);
	f[0][1]=a[1];
	fo(i,1,m)
	{
		int l=1,r=0;
		fo(j,i+1,n)
		{
			while(r>=l&&f[i-1][j-1]>=f[i-1][q[r]]) --r;
			q[++r]=j-1;
			while(d[j]-d[q[l]]>k) ++l;
			f[i][j]=f[i-1][q[l]]+a[j];
			ans=max(ans,f[i][j]);
		}
	}
	printf("%d",ans);
}