LeetCode 319. Bulb Switcher

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题解

自然地会想到模拟开关的方法，开一个数组记录开关情况，最后奇数者亮。
例如

int bulbSwitch(int n) {
        vector<int> cot(n+1,1);
        int res=0;
        if(n==1) return 1;
        for(int pos=1;pos<=n;pos++){
            for(int k=2;k<=n;k++)
                if(pos%k==0) cot[pos]++;
            if(cot[pos]%2 == 1) res++;
        }
        return res;
    }

正确，但是这个O(n^2)方法超时。
怎么改进，注意到这一点每个位置 i 被开关的次数上面的算法是

for(k=2:n)  
	if(i%k == 0)
		cot[i]++; 

我们恰好在求的是数i的公因数的数量，i有奇数公因数等价于最后数为奇。
而一般而言任何数都有偶数个公因数，只有一种数有奇数个公因数，即平方数
如 1,2,9,16。。。
所以这道题等价为求1-n内有多少平方数

for(int i=1;i*i<=n;i++)
	res++;

但这还不是最简，可证得 1-n内平方数数量恰等于 sqrt(n)。。
所以最后答案就一句话。

int bulbSwitch(int n) {
    return sqrt(n);
}