出处：http://www.fengchang.cc/post/121
原题：
https://leetcode.com/problems/bulb-switcher-ii/description/
我用中文简述一下题干：
上面的四个方块是四个灯泡开关，
下面的一系列椭圆是一组灯泡，初始状态全亮。
上面四个按钮的作用分别是：
全：按一下则所有灯泡切换状态（从亮到黑， 或从黑到亮）
偶：所有偶数位灯泡切换状态
奇：所有奇数位灯泡切换状态
隔三： 所有1+3k(k=0,1,2...)灯泡切换状态（也就是图中黄色标注的这些位置）
现在给定灯泡个数n，以及确定的按开关的次数m（每次只能按一个按钮），求最终灯泡序列的状态组合有可能有多少种。
例如n=1,m=1，则最终灯泡序列的状态可能为[on], [off]，即2种，返回2
再如n=2,m=1, 则最终灯泡序列的状态可能为 [on, off], [off, on], [off, off]，即3种，返回2.
====以上是我对题干的解读，总感觉有时候Leetcode题干的表述不是那么清晰。不过我这里翻译如此。
解题思路：
关于最终状态的求解，本质上是从初始状态经过一些列操作演化而来，那么如果可以先求出这一系列按开关序列操作本身的组合数x，就相当于确定了最终灯泡状态的上限，再排除这x个组合中可能导致灯泡状态结果重合的情况（即两种不同的操作序列导致同一个灯泡状态的情况），就可以求出最终结果。
求这个操作组合数x，即四个按钮按m次，换一种思路就是：有四个槽，往里投币m次，可重复投同一个槽，最终槽位状态会是里面分别有多少个币。然而再细想一下，这个问题还可以做一个等价的转换，每个槽只要有2个硬币，就可以像俄罗斯方块一样消去，因为同一个按钮按任意偶数次都相当于没按，那么依照这种思路，最终每槽位中可能的状态只能是0或者1，分别代表不按或者按，考虑到槽位总共只有4个，那么槽位状态的组合最多只有2^4=16种，这就是我们要求的最终灯泡状态的上限。这一点很重要，如果不做这样的等价转换，则组合数可能非常大，再从这些组合数中去推敲另一个组合数，计算量就会很大。
那么如何求出具体有哪些按钮操作组合情况呢？既然上面说了上限只有16种，所以是一个跟m规模无关的问题，与其根据m去求，不如拿16种状态一个个去验证， 验证通过即为一种组合情况。为了方便，可以用4位二进制数来代表（从0000到1111），例如1001表示按“全”和“隔三”两个按钮， 1100，代表按“全”和“偶”两个按钮，以此类推。。。有了这种代表方式后，如何验证m次操作可以达到这种等价状态呢？很简单，考虑这个例子：1110这个状态能否通过5次操作达到等价操作？可以，因为这个序列中有3个1，那么我先把5次中的三次按照顺序给按了，剩下两次（偶数次）随便挑一个按钮给按了（上面说了，任意按偶数次按钮等价于没按），根据这个例子可以知道一个原则，我们先看最后这个状态序列码中有多少个1，再拿m去比对，如果m比1的个数还少，那么显然达不到，如果正好相等，那么一定可以达到，如果m大于这个数，则看大出多少，如果大出的数是偶数，则可以达到。
通过以上方式，就可以求出所有m次操作可达的等价操作序列。下一步就是确定两个操作序列应用于n个灯泡时，是否可能达到同一个灯泡序列状态，这一步求解思路如下：假如我们要判断1001和1110这两个操作序列能否使灯泡达到同状态，可以通过找这两个序列码的“编辑距离”来算，所谓“编辑距离”就是从状态A变化到状态B要经过哪些码位变换（即同一位置的状态翻转），例如从1001到1110需要经过哪些变换呢？首先，第一位相同，不需要变换，变换操作记为0，第二位状态不同，变换操作记为1，第三位第四位也不同，都记为1，那么可以记为两种状态的“编辑距离为0111，也就是从1001这个状态切换到1110这个状态，只需要做0111对应的操作即可达到。
那么再回过头来看，我们的目的是求1001和1110这两种操作序列能否达到相同同灯泡状态，而我们又说了通过0111这个操作可以从1001达到1110，那么可想而知，可达相同灯泡状态的等价于说0111这个操作等价于不改变任何灯泡状态。或者换种说法，有三种操作序列A, B, C，分别对应一组按钮操作，并且A+B=C, 如果我们知道A和C对应着同样的灯泡序列，那么B必然意味着等价于啥也没做。而“啥也没做”意味着对任意灯泡，都啥也没做或者做了偶数次同按钮操作。
以上就是全部的思路。代码实现如下：
class Solution:
def ones(self,num):
# Note that bin is a built-in
return bin(num).count('1')
def reacheable(self, i, m):
one_count = self.ones(i)
if(m<one_count):
return False
elif (m==one_count):
return True
else:
return ((m-one_count)%2==0)
def button_composer(self, m):
raw_list_of_comb = []
for i in range(0, 16):
if(self.reacheable(i, m)):
raw_list_of_comb.append(i)
return raw_list_of_comb
def button_compose_reducer(self, n, list_of_comb):
def pressAllButton(num):
return (num&8)>0
def pressEvenButton(num):
return (num&4)>0
def pressOddButton(num):
return (num&2)>0
def pressTripButton(num):
return (num&1>0)
def no_effect(nm, op):
for index in range(nm):
opcnt = 0
label = index+1
if(label%2==0 and pressEvenButton(op)):
opcnt+=1
if(label%2!=0 and pressOddButton(op)):
opcnt+=1
if((label-1)%3==0 and pressTripButton(op)):
opcnt+=1
if(pressAllButton(op)):
opcnt+=1
if(opcnt%2!=0):
return False
return True
def same_effect(nm, elm, elm2):
distance_op = elm ^ elm2
return no_effect(nm, distance_op)
base_set = [list_of_comb[0]]
for i in range(1, len(list_of_comb)):
breakout = False
for el in base_set:
if (same_effect(n, el, list_of_comb[i])):
breakout=True
break;
if(not breakout):
base_set.append(list_of_comb[i])
return len(base_set)
def flipLights(self, n, m):
"""
:type n: int
:type m: int
:rtype: int
"""
raw_list_of_comb = self.button_composer(m)
result = self.button_compose_reducer(n, raw_list_of_comb)
return result
sol = Solution()
print(sol.flipLights(2,1))
已通过leetcode online judge
后评：感觉这个初始状态全亮的条件对解题无用，所以我猜这个题还会有续集，要么就是题出得不好。
思维之思维：
本题做了几次等价转换，单步来看都不是什么很难理解的玩意儿，但是要想到这些等价转换，需要一定的直觉，例如如何判断两种不同的操作序列是否会导致相同的灯状态，参考的是编辑距离的概念，虽然这个概念最初主要用于文本分析，但是其本质上的思路在本题中可以有完全一样的体现；另一个角度，初始状态+变化操作=>末状态是一种对事物变化本质的思考，有了这个思考，可以忽略中间变化的细节，只看首尾两个状态的差异，只要这个差异是一定的，那么这个中间的变化操作即使有多种，那么也可以认为是等价的，这一点，类似于物理中保守场，在保守场中从A点移动到B点，无论中间经过什么样不同的路径，保守场对物体做功都不变。如果这种思维方式已经内化于心，那么产生以上的直觉就变成自然而然的了。