矩阵矩阵的基本运算规则行列式逆矩阵

矩阵

本质：矩阵是个数表；从线性变换的视角看，矩阵是记录线性变换这一过程的描述信息。记为 $A_{m\times n}$ 或 $A=\{a_{ij}\}$ 或 $A=\{a_{ij}\}_{m\times n}$

特殊矩阵及其性质

同型矩阵

具有相同行数和列数的矩阵，称为同型矩阵。

方矩阵

如果 $m$ 等于 $n$ ,称为 $n$ 阶（方）矩阵，记为 $A_{n}$ 。

零矩阵

所有元素为零的矩阵称为零矩阵，记为 $O$ 或 $O_{m \times n}$ 。

三角矩阵

设 $A=\{a_{ij}\}_{n}$ 是 n 阶方阵，若：

$A$ 的元素满足 $a_{ij}=0$ , $\forall i \gt j$ ,称 $A$ 为上三角矩阵。
$A$ 的元素满足 $a_{ij}=0$ , $\forall i \lt j$ ,称 $A$ 为下三角矩阵。

对角矩阵

元素满足 $a_{ij}=0,\forall i \neq j$ ，记为 $A=diag\{a_{11},a_{22},...,a_{nn}\}=diag\{a_{ii}\}$ 。

单位矩阵

对角元素为1的三角矩阵，记为 $I$ 或 $I_{n}$ 。

对称矩阵

设 $A=\{a_{ij}\}_{n}$ 是 n 阶方阵，若：

$A$ 的元素满足 $a_{ij}=a_{ji} \quad\forall i,j \quad \Longleftrightarrow \quad A^T=A$
$A$ 的元素满足 $a_{ij}=-a_{ji} \quad\forall i,j \quad \Longleftrightarrow \quad A^T=-A$

矩阵的基本运算及其规则

$A(B+C)=AB+AC$

$(B+C)A=BA+CA$

$(AB)C=A(BC)$

$\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$ ,其中 $\lambda$ 是一个数。

$AI=IA=A$

$A^{k+l}=A^{k}A^{l}$

$(A^{k})^l=A^{kl}$

$A^0=I$ （特别规定）

$(A^T)^T=A$

$(A+B)^T=A^T+B^T$

$(\lambda A)^T=\lambda A^T$ ,其中 $\lambda 是一个数$ 。

$(AB)^T=B^TA^T$

$tr(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}=|A|=det(A)$

$tr(AB)=tr(BA)$

$|A^T|=|A|$

$|\lambda A|=\lambda^n|A|$

$|AB|=|A||B|$

伴随矩阵

设 $A=\{a_{ij}\}$ 行列式 $|A|$ 的各个元素的代数余子式 $A_{ij}$ 所构成的如下矩阵

$A^*=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} &... &A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} &... &A_{n2} \\\vdots & \vdots & &\vdots \\A_{1n} & A_{2n} &... &A_{nn} \end{pmatrix}$

称为矩阵 $A$ 的伴随矩阵，简称伴随阵。

$AA^*=A^*A=|A|E$

$(kA)^*=k^{n-1}A^*$

逆矩阵

设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，若存在矩阵 $B$ ,使得 $AB=BA=I$ ,则称矩阵 $A$ 是可逆的（矩阵 $B$ 是矩阵 $A$ 的逆矩阵）。

逆矩阵是唯一的，用 $A^{-1}$ 表示。
证明：设 $B$ , $C$ 均是 $A$ 的逆矩阵，则有 $B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C$ 。
矩阵 $A$ 是可逆的的充要条件是$|A|\neq 0 $ 且 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$

https://github.com/wuchg/MLiA/blob/master/matrix.md