0. 问题背景 （本课题为九年级组探究课题）
在中国象棋中，马的走法是一直一斜，棋谚“马走日字”（本质上说，“马走日字”是走1×2 矩形的对角线）。从棋盘上任意一点出发，马能跳到任意的一个点。
4. 一个走“目”的“千里马”在整幅棋盘上，能否从任意一点，跳到指定点？
分析与解答
如上图所示，我们假设“千里马”是一只虫子，每次走一个“目”字，都需要爬过4个格子，即从A向一个方向走3格，转90°再走1格。这样，从A出发的任何路径上的每一个能走到的点，距离A的“距离”（即经过的格子数）都是4的倍数，即一个偶数。而从黑色格子（A）出发，终点为白色格子（B），必然需要经过奇数个格子。因此，走“目”字的千里马，从A走到B是不可能的，并且这和棋盘的大小无关。
另一种解法
上述结论还有另一个解法，也比较容易理解。
如上图所示，从一个黑色格子出发，下一步必然也在黑色格子中（即必然停留在同色格子内）。因此，无论如何都不可能从黑色格子走到白色格子，反之也一样。
研究与拓展
那么在10×9的整幅棋盘中，从任意一个位置出发，可以跳到的位置的范围是如何的呢？下面我来证明在棋盘中，任意黑色的格子之间可以相互走到，白色的格子之间也可以相互走到。当然，前文已经证明了黑白之间是走不到的。
假设左上角的黑色格子为起点，我采用“宽度优先搜索”的算法思想来构造走法。图中左上角标号为1，图中任意标号为i（i > 1）的格子，必然可以找到一个标号为i -1 的格子，通过千里马走到它。实际上标号就表示为从左上角出发，能到达这个格子的最短步数。也就是说，如果从左上角出发，任意黑色格子，最远只需要跳5步（最大标号6减去1）即可到达。
那么从左上角出发，到每一个黑色格子的路径，最终形成了一个树状结构，根节点（出发点）即为左上角的格子。对于任意两个黑色格子，只要从其中一个格子出发，先到达两个黑色格子的公共祖先（共同拥有的上级祖先），当然这里最远可以回到起点，然后再沿路跳转下去就可到达另一个黑色格子。即任意两个黑色格子之间，都存在路径可以到达。
用类似的方法，我们来构造白色格子间的树形结构。
如上图所示，以第一行第二列为起点，遍历结构和前文的黑色格子完全相同。同样方法可以证明，任意白色格子间也可以相互走到。
综上所述，把每个格子看作一个节点，将两两之间能跳到的格子间连边，通过这样的建图的方式，整幅10×9的棋盘的90个节点的图，实际上被构造成了两个互不联通的图。一个由所有黑色格子构成，另一个由白色格子构成，两个图中两两可达（即强连通），但两个图之间没有任何交集。
…… 后续问题探究
上文我首先证明了如果是“目”字跳跃的马，是不可能遍历整个棋盘的，和棋盘的大小无关。同时还构造出在整幅棋盘中，黑色格子和白色格子为起点的马，采用“目”字跳跃的遍历范围，且最远只要跳 5 次就可以了。
现在问题来了，马的跳跃方法从“日”拓展到了到“目”，那么如果是一个 1 x n 的“千里马”呢？在一个无限大的棋盘里，这个“千里马”能从任意指定点出发，跳跃到另一个指定点么？