0. 问题背景 （本课题为九年级组探究课题）
在中国象棋中，马的走法是一直一斜，棋谚“马走日字”（本质上说，“马走日字”是走1×2 矩形的对角线）。从棋盘上任意一点出发，马能跳到任意的一个点。
1. 在图中半幅棋盘上，马从点A出发，能否跳到任意的一个点？
分析与解答
我们将半幅棋盘的格点，抽象为5×9的方格矩阵，矩阵中的方格代表棋盘中的一个点。马走“日”字相当于在矩阵中移动时，每一步的行号加减1且列号加减2，或者行号加减2且列号加减1。如果不考虑棋盘的边界问题，每一步一共8种可能移动的方法。原题中的A点，就对应于矩阵中第5行第2列的位置。
为了解答这一题，我构造出了一条遍历矩阵中所有方格的路径，如下图所示。起点为左上角，标号为1，每走一步标号增加1。这样路径轨迹上的标号，就形成了一个从1到45的序列。图中标出了标号1到7的移动方向，作为示例。点A所在的方格，即图中标号32的位置，也显然在这条路径上。从A出发，沿着这条路径，不仅可以到达棋盘中的任意点，而且路径上的方格也不会重复走到。
因此，马从A点出发，是可以跳到半幅棋盘上的任意一点的。
另一种解法
这个问题的上述解法，是基于构造完成的，即构造出了一条遍历所有节点的遍历路径。每个点只走一次的路径，也叫做哈密尔顿路径。我认为还有另一个解法可以讨论。如下图所示，从某一个节点出发，只需要跳 3 步，即可到达相邻的位置。图中给出了以左上角和中心点这两个格子为起点的走法。这个操作所需的最大空间为3×4，所以半幅棋盘的空间足够让马跳到相邻的格子上。因此可以证明从任意方格出发，都可以在3步后到达相邻的位置。那么经过拓展，自然也就可以从任意方格出发，经过有限步，构造出一系列相邻的方格为路径，到达任意目标方格。所以起点为A时一定也能做得到，是这个结论的一个特例。
…… 后续问题探究
上文证明了从 A 点出发，是能够跳到半幅棋盘上的任意一点的。那么现在问题来了，马从点A出发，能否跳遍半个棋盘，且每个点恰都只走到一次？如果能，为什么？如果不能，那从哪些点出发，可以跳遍半个棋盘，且每个点都只跳一次？