矩阵求导（下）——矩阵对矩阵的求导

参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/24863977

本篇使用小写字母x表示标量，粗体小写字母 $\boldsymbol{x}$表示列向量，大写字母X表示矩阵。
矩阵对矩阵的求导采用了向量化的思路，常应用于二阶方法求解优化问题。

首先来琢磨一下定义。矩阵对矩阵的导数，需要什么样的定义？
第一，矩阵 $F(p×q)$对矩阵 $X(m×n)$的导数应包含所有mnpq个偏导数 $\frac{\partial F_{kl}}{\partial X_{ij}}$，从而不损失信息；
第二，导数与微分有简明的联系，因为在计算导数和应用中需要这个联系；
第三，导数有简明的从整体出发的算法。
我们先定义向量 $\boldsymbol{f}(p×1)$对向量 $\boldsymbol{x}(m×1$)的导数 $\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_1}\\ \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial f_1}{\partial x_m} & \frac{\partial f_2}{\partial x_m} & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_m}\\ \end{bmatrix}(m×p)$，有 $d\boldsymbol{f} = \frac{\partial \boldsymbol{f} }{\partial \boldsymbol{x} }^T d\boldsymbol{x}$ ；
再定义矩阵的（按列优先）向量化 $\mathrm{vec}(X) = [X_{11}, \ldots, X_{m1}, X_{12}, \ldots, X_{m2}, \ldots, X_{1n}, \ldots, X_{mn}]^T(mn×1)$，
并定义矩阵F对矩阵X的导数 $\frac{\partial F}{\partial X} = \frac{\partial \mathrm{vec}(F)}{\partial \mathrm{vec}(X)}(mn×pq)$。

导数与微分有联系 $\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial X}^T \mathrm{vec}(dX)$。几点说明如下：

1. 按此定义，标量f对矩阵X(m×n)的导数 $\frac{\partial f}{\partial X}是mn×1$向量，与上篇的定义不兼容，不过二者容易相互转换。为避免混淆，用记号 $\nabla_X f$表示上篇定义的m×n矩阵，则有 $\frac{\partial f}{\partial X}=\mathrm{vec}(\nabla_X f)$。虽然本篇的技术可以用于标量对矩阵求导这种特殊情况，但使用上篇中的技术更方便。读者可以通过上篇中的算例试验两种方法的等价转换。
2. 标量对矩阵的二阶导数，又称Hessian矩阵，定义为 $\nabla^2_X f = \frac{\partial^2 f}{\partial X^2} = \frac{\partial \nabla_X f}{\partial X}(mn×mn)$，是对称矩阵。对向量 $\frac{\partial f}{\partial X}$或矩阵 $\nabla_X f$求导都可以得到Hessian矩阵，但从矩阵 $\nabla_X f$出发更方便。
3. $\frac{\partial F}{\partial X} = \frac{\partial\mathrm{vec} (F)}{\partial X} = \frac{\partial F}{\partial \mathrm{vec}(X)} = \frac{\partial\mathrm{vec}(F)}{\partial \mathrm{vec}(X)}$，求导时矩阵被向量化，弊端是这在一定程度破坏了矩阵的结构，会导致结果变得形式复杂；好处是多元微积分中关于梯度、Hessian矩阵的结论可以沿用过来，只需将矩阵向量化。例如优化问题中，牛顿法的更新 $\Delta X$，满足 $\mathrm{vec}(\Delta X) = -(\nabla^2_X f)^{-1}\mathrm{vec}(\nabla_X f)$。
4. 在资料中，矩阵对矩阵的导数还有其它定义，比如 $\frac{\partial F}{\partial X} = \left[\frac{\partial F_{kl}}{\partial X}\right](mp×nq)$，它能兼容上篇中的标量对矩阵导数的定义，但微分与导数的联系（ $dF等于\frac{\partial F}{\partial X}中每个m×n子块分别与dX做内积$）不够简明，不便于计算和应用。

然后来建立运算法则。仍然要利用导数与微分的联系 $\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial X}^T \mathrm{vec}(dX)$，求微分的方法与上篇相同，而从微分得到导数需要一些向量化的技巧：

• 线性： $\mathrm{vec}(A+B) = \mathrm{vec}(A) + \mathrm{vec}(B)$。
• 矩阵乘法： $\mathrm{vec}(AXB) = (B^T \otimes A) \mathrm{vec}(X)$，其中 $\otimes$表示Kronecker积， $A(m×n)与B(p×q)$的Kronecker积是 $A\otimes B = [A_{ij}B](mp×nq)$。此式证明见张贤达《矩阵分析与应用》第107-108页。
• 转置： $\mathrm{vec}(A^T) = K_{mn}\mathrm{vec}(A)$，A是m×n矩阵，其中 $K_{mn}(mn×mn)$是交换矩阵(commutation matrix)。
• 逐元素乘法： $\mathrm{vec}(A\odot X) = \mathrm{diag}(A)\mathrm{vec}(X)$，其中 $\mathrm{diag}(A)(mn×mn)$是用A的元素（按列优先）排成的对角阵。

观察一下可以断言，若矩阵函数F是矩阵X经加减乘法、行列式、逆、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对F求微分，再做向量化并使用技巧将其它项交换至vec(dX)左侧，即能得到导数。

再谈一谈复合：假设已求得 $\frac{\partial F}{\partial Y}$，而Y是X的函数，如何求 $\frac{\partial F}{\partial X}$呢？从导数与微分的联系入手， $\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial Y}^T\mathrm{vec}(dY) = \frac{\partial F}{\partial Y}^T\frac{\partial Y}{\partial X}^T\mathrm{vec}(dX)$ ，可以推出链式法则 $\frac{\partial F}{\partial X} = \frac{\partial Y}{\partial X}\frac{\partial F}{\partial Y}$。

和标量对矩阵的导数相比，矩阵对矩阵的导数形式更加复杂，从不同角度出发常会得到形式不同的结果。有一些Kronecker积和交换矩阵相关的恒等式，可用来做等价变形：

1. $(A\otimes B)^T = A^T \otimes B^T$。
2. $\mathrm{vec}(\boldsymbol{ab}^T) = \boldsymbol{b}\otimes\boldsymbol{a}$。
3. $(A\otimes B)(C\otimes D) = (AC)\otimes (BD)$。可以对 $F = D^TB^TXAC$求导来证明，一方面，直接求导得到 $\frac{\partial F}{\partial X} = (AC) \otimes (BD)$；另一方面，引入 $Y = B^T X A，有\frac{\partial F}{\partial Y} = C \otimes D, \frac{\partial Y}{\partial X} = A \otimes B$，用链式法则得到 $\frac{\partial F}{\partial X} = (A\otimes B)(C \otimes D)$。
4. $K_{mn} = K_{nm}^T, K_{mn}K_{nm} = I$。
5. $K_{pm}(A\otimes B) K_{nq} = B\otimes A$，A是m×n矩阵，B是p×q矩阵。可以对 $AXB^T$做向量化来证明，一方面， $\mathrm{vec}(AXB^T) = (B\otimes A)\mathrm{vec}(X)$；另一方面， $\mathrm{vec}(AXB^T) = K_{pm}\mathrm{vec}(BX^TA^T) = K_{pm}(A\otimes B)\mathrm{vec}(X^T) = K_{pm}(A\otimes B) K_{nq}\mathrm{vec}(X)$。

接下来演示一些算例。

• 例1： $F = AX$，X是m×n矩阵，求 $\frac{\partial F}{\partial X}$。

  解：先求微分： $dF=AdX$，再做向量化，使用矩阵乘法的技巧，注意在dX右侧添加单位阵： $\mathrm{vec}(dF) = \mathrm{vec}(AdX) = (I_n\otimes A)\mathrm{vec}(dX)$，对照导数与微分的联系得到 $\frac{\partial F}{\partial X} = I_n\otimes A^T$。

• 特例：如果X退化为向量， $\boldsymbol{f} = A \boldsymbol{x}$ ，则根据向量的导数与微分的关系 $d\boldsymbol{f} = \frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}}^T d\boldsymbol{x}$ ，得到 $\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}} = A^T$ 。

• 例2： $f = \log |X|$ ，X是n×n矩阵，求 $\nabla_X f和\nabla^2_X f$。

  解：使用上篇中的技术可求得 $\nabla_X f = X^{-1T}$ 。
  为求 $\nabla^2_X f$，先求微分： $d\nabla_X f = -(X^{-1}dXX^{-1})^T$，再做向量化，使用转置和矩阵乘法的技巧
  $\mathrm{vec}(d\nabla_X f)= -K_{nn}\mathrm{vec}(X^{-1}dX X^{-1}) = -K_{nn}(X^{-1T}\otimes X^{-1})\mathrm{vec}(dX)$，
  对照导数与微分的联系，得到 $\nabla^2_X f = -K_{nn}(X^{-1T}\otimes X^{-1})$，注意它是对称矩阵。
  在X是对称矩阵时，可简化为 $\nabla^2_X f = -X^{-1}\otimes X^{-1}$。

• 例3： $F = A\exp(XB)$，A是l×m，X是m×n，B是n×p矩阵，exp()为逐元素函数，求 $\frac{\partial F}{\partial X}$。

  解：先求微分： $dF = A(\exp(XB)\odot (dXB))$，再做向量化，
  使用矩阵乘法的技巧： $\mathrm{vec}(dF) = (I_p\otimes A)\mathrm{vec}(\exp(XB)\odot (dXB))$，
  再用逐元素乘法的技巧： $\mathrm{vec}(dF) = (I_p \otimes A) \mathrm{diag}(\exp(XB))\mathrm{vec}(dXB)$，
  再用矩阵乘法的技巧： $\mathrm{vec}(dF) = (I_p\otimes A)\mathrm{diag}(\exp(XB))(B^T\otimes I_m)\mathrm{vec}(dX)$，
  对照导数与微分的联系得到 $\frac{\partial F}{\partial X} = (B\otimes I_m)\mathrm{diag}(\exp(XB))(I_p\otimes A^T)$。

• 例4【一元logistic回归】： $l = -y \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{w} + \log(1 + \exp(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{w}))$，求 $\nabla_\boldsymbol{w} l$和￥ $\nabla^2_\boldsymbol{w} l$。其中 $y$是取值0或1的标量， $\boldsymbol{x},\boldsymbol{w}$是向量。

  解：使用上篇中的技术可求得 $\nabla_\boldsymbol{w} l = \boldsymbol{x}(\sigma(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{w}) - y)$，其中 $\sigma(a) = \frac{\exp(a)}{1+\exp(a)}$ 为 $sigmoid$函数。
  为求 $\nabla^2_\boldsymbol{w} l$，先求微分： $d\nabla_\boldsymbol{w} l$ = $\boldsymbol{x} \sigma'(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{w})\boldsymbol{x}^T d\boldsymbol{w}$,
  其中 $\sigma'(a) = \frac{\exp(a)}{(1+\exp(a))^2}$为sigmoid函数的导数，
  对照导数与微分的联系，得到 $\nabla_w^2 l = \boldsymbol{x}\sigma'(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{w})\boldsymbol{x}^T$。

• 推广：样本 $(\boldsymbol{x}_1, y_1), \dots, (\boldsymbol{x}_n,y_n)，l = \sum_{i=1}^N \left(-y_i \boldsymbol{x}_i^T\boldsymbol{w} + \log(1+\exp(\boldsymbol{x_i}^T\boldsymbol{w}))\right)$，求 $\nabla_w l和\nabla^2_w l$。
  有两种方法，
  方法一：先对每个样本求导，然后相加；
  方法二：定义矩阵 $X = \begin{bmatrix}\boldsymbol{x}_1^T \\ \vdots \\ \boldsymbol{x}_n^T \end{bmatrix}$，向量 $\boldsymbol{y} = \begin{bmatrix}y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{bmatrix}$，将 $l$写成矩阵形式 $l = -\boldsymbol{y}^T X\boldsymbol{w} + \boldsymbol{1}^T\log(\boldsymbol{1} + \exp(X\boldsymbol{w}))$，进而可以求得 $\nabla_\boldsymbol{w} l = X^T(\sigma(X\boldsymbol{w}) - \boldsymbol{y})，\nabla_w^2 l = X^T\text{diag}(\sigma'(X\boldsymbol{w}))X$。

• 例5【多元logistic回归】： $l = -\boldsymbol{y}^T\log \text{softmax}(W\boldsymbol{x}) = -\boldsymbol{y}^TW\boldsymbol{x} + \log(\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x}))，求\nabla_W l和\nabla^2_W l$ 。

  解：上篇中已求得 $\nabla_W l = (\text{softmax}(W\boldsymbol{x})-\boldsymbol{y})\boldsymbol{x}^T$。为求 $\nabla^2_W l$，
  先求微分：定义 $\boldsymbol{a} = W\boldsymbol{x}，d\text{softmax}(\boldsymbol{a}) = \frac{\exp(\boldsymbol{a})\odot d\boldsymbol{a}}{\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a})} - \frac{\exp(\boldsymbol{a}) (\boldsymbol{1}^T(\exp(\boldsymbol{a})\odot d\boldsymbol{a}))}{(\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a}))^2}$，
  这里需要化简去掉逐元素乘法，第一项中 $\exp(\boldsymbol{a})\odot d\boldsymbol{a} = \text{diag}(\exp(\boldsymbol{a})) d\boldsymbol{a}$ ，
  第二项中 $\boldsymbol{1}^T(\exp(\boldsymbol{a})\odot d\boldsymbol{a}) = \exp(\boldsymbol{a})^Td\boldsymbol{a}， 故有d\text{softmax}(\boldsymbol{a}) = \text{softmax}'(\boldsymbol{a})d\boldsymbol{a}$，
  其中 $\text{softmax}'(\boldsymbol{a}) = \frac{\text{diag}(\exp(\boldsymbol{a}))}{\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a})} - \frac{\exp(\boldsymbol{a})\exp(\boldsymbol{a})^T}{(\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a}))^2}$ ，
  代入有 $d\nabla_W l = \text{softmax}'(\boldsymbol{a})d\boldsymbol{a}\boldsymbol{x}^T = \text{softmax}'(W\boldsymbol{x})dW \boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^T$，
  做向量化并使用矩阵乘法的技巧，得到 $\nabla^2_W l = (\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^T) \otimes \text{softmax}'(W\boldsymbol{x})$。

总结

我们发展了从整体出发的矩阵求导的技术，导数与微分的联系是计算的枢纽，标量对矩阵的导数与微分的联系是
$df = \mathrm{tr}(\nabla_X^T f dX)$，先对f求微分，再使用迹技巧可求得导数，特别地，标量对向量的导数与微分的联系是
$df = \nabla^T_{\boldsymbol{x}}f d\boldsymbol{x}；矩阵对矩阵的导数与微分的联系是\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial X}^T \mathrm{vec}(dX)$，先对F求微分，再使用向量化的技巧可求得导数，特别地，向量对向量的导数与微分的联系是 $d\boldsymbol{f} = \frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}}^Td\boldsymbol{x}$。