矩阵求导法则

转载自：https://blog.csdn.net/dinkwad/article/details/72819832

矩阵求导的技术，在统计学、控制论、机器学习等领域有广泛的应用。鉴于我看过的一些资料或言之不详、或繁乱无绪，本文来做个科普，分作两篇，上篇讲标量对矩阵的求导术，下篇讲矩阵对矩阵的求导术。本文使用小写字母x表示标量，粗体小写字母xx 表示向量，大写字母X表示矩阵。

首先来琢磨一下定义，标量f对矩阵X的导数，定义为

∂f∂X:=[∂f∂Xij]∂f∂X:=[∂f∂Xij]

即f对X逐元素求导排成与X尺寸相同的矩阵。然而，这个定义在计算中并不好用，实用上的原因是在对较复杂的函数难以逐元素求导；哲理上的原因是逐元素求导破坏了整体性。试想，为何要将f看做矩阵X而不是各元素XijXij的函数呢？答案是用矩阵运算更整洁。所以在求导时不宜拆开矩阵，而是要找一个从整体出发的算法。为此，我们来回顾，一元微积分中的导数（标量对标量的导数）与微分有联系：df=f′(x)dxdf=f′(x)dx；多元微积分中的梯度（标量对向量的导数）也与微分有联系：

df=∑i∂f∂xidxi=∂f∂xTdxdf=∑i∂f∂xidxi=∂f∂xTdx

这里第一个等号是全微分公式，第二个等号表达了梯度∂f∂x∂f∂x与微分的联系；受此启发，我们将矩阵导数与微分建立联系：

df=∑i,j∂f∂XijdXij=tr(∂f∂XTdX)df=∑i,j∂f∂XijdXij=tr(∂f∂XTdX)

这里tr代表迹(trace)是方阵对角线元素之和，满足性质：对尺寸相同的矩阵A,B，tr(ATB)=∑i,jAijBijtr(ATB)=∑i,jAijBij，这用泛函分析的语言来说tr(ATB)tr(ATB)是矩阵A,B的内积，因此上式与原定义相容。

然后来建立运算法则。回想遇到较复杂的一元函数如f=log(2+sinx)ex√f=log⁡(2+sin⁡x)ex，我们是如何求导的呢？通常不是从定义开始求极限，而是先建立了初等函数求导和四则运算、复合等法则，再来运用这些法则。故而，我们来创立常用的矩阵微分的运算法则：

加减法：d(X±Y)=dX±dYd(X±Y)=dX±dY；矩阵乘法：d(XY)=dXY+XdYd(XY)=dXY+XdY；转置：d(XT)=(dX)Td(XT)=(dX)T；迹：dtr(X)=tr(dX)dtr(X)=tr(dX)。
逆：dX−1=−X−1dXX−1dX−1=−X−1dXX−1。此式可在XX−1=IXX−1=I两侧求微分来证明。
行列式：d|X|=tr(X#dX)d|X|=tr(X#dX)，其中X#X#表示X的伴随矩阵，在X可逆时又可以写作d|X|=|X|tr(X−1dX)d|X|=|X|tr(X−1dX)。此式可用Laplace展开来证明，详见张贤达《矩阵分析与应用》第279页。
逐元素乘法：d(X⊙Y)=dX⊙Y+X⊙dY，⊙d(X⊙Y)=dX⊙Y+X⊙dY，⊙表示尺寸相同的矩阵X,Y逐元素相乘。
逐元素函数：dσ(X)=σ′(X)⊙dX，σ(X)=[σ(Xij)]dσ(X)=σ′(X)⊙dX，σ(X)=[σ(Xij)]是逐元素运算的标量函数。

我们试图利用矩阵导数与微分的联系df=tr(∂f∂XTdX)df=tr(∂f∂XTdX)，在求出左侧的微分df后，该如何写成右侧的形式并得到导数呢？这需要一些迹技巧(trace trick)：

标量套上迹：a=tr(a)a=tr(a)。
转置：tr(AT)=tr(A)tr(AT)=tr(A)。
线性：tr(A±B)=tr(A)±tr(B)tr(A±B)=tr(A)±tr(B)。
矩阵乘法交换：tr(AB)=tr(BA)tr(AB)=tr(BA)。两侧都等于∑i,jAijBji∑i,jAijBji。
矩阵乘法/逐元素乘法交换：tr(AT(B⊙C))=tr((A⊙B)TC)tr(AT(B⊙C))=tr((A⊙B)TC)。两侧都等于∑i,jAijBijCij∑i,jAijBijCij。

观察一下可以断言，若标量函数f是矩阵X经加减乘法、行列式、逆、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对f求微分，再使用迹技巧给df套上迹并将其它项交换至dX左侧，即能得到导数。
在建立法则的最后，来谈一谈复合：假设已求得∂f∂Y∂f∂Y，而Y是X的函数，如何求∂f∂X∂f∂X呢？在微积分中有标量求导的链式法则∂f∂x=∂f∂y∂y∂x∂f∂x=∂f∂y∂y∂x，但这里我们不能沿用链式法则，因为矩阵对矩阵的导数∂Y∂X∂Y∂X截至目前仍是未定义的。于是我们继续追本溯源，链式法则是从何而来？源头仍然是微分。我们直接从微分入手建立复合法则：先写出df=tr(∂f∂YTdY)df=tr(∂f∂YTdY)，再将dY用dX表示出来代入，并使用迹技巧将其他项交换至dX左侧，即可得到∂f∂X∂f∂X。

接下来演示一些算例。特别提醒要依据已经建立的运算法则来计算，不能随意套用微积分中标量导数的结论，比如认为AX对X的导数为A，这是没有根据、意义不明的。

例1：f=aTXb，求∂f∂Xf=aTXb，求∂f∂X。

解：先使用矩阵乘法法则求微分：df=aTdXbdf=aTdXb，再套上迹并做交换：df=tr(aTdXb)=tr(baTdX)df=tr(aTdXb)=tr(baTdX)，对照导数与微分的联系，得到∂f∂X=abT∂f∂X=abT。

注意：这里不能用∂f∂X=aT∂X∂Xb=?∂f∂X=aT∂X∂Xb=?，导数与乘常数矩阵的交换是不合法则的运算（而微分是合法的）。有些资料在计算矩阵导数时，会略过求微分这一步，这是逻辑上解释不通的。

例2【线性回归】：l=∥Xw−y∥2l=‖Xw−y‖2，求∂l∂w∂l∂w。

解：严格来说这是标量对向量的导数，不过可以把向量看做矩阵的特例。将向量范数写成l=(Xw−y)T(Xw−y)l=(Xw−y)T(Xw−y)，求微分，使用矩阵乘法、转置等法则：dl=(Xdw)T(Xw−y)+(Xw−y)T(Xdw)=2(Xw−y)TXdwdl=(Xdw)T(Xw−y)+(Xw−y)T(Xdw)=2(Xw−y)TXdw。对照导数与微分的联系，得到∂l∂w=2XT(Xw−y)∂l∂w=2XT(Xw−y)。

例3【多元logistic回归】：l=−yTlogsoftmax(Wx)，求∂l∂Wl=−yTlog⁡softmax(Wx)，求∂l∂W。其中yy是除一个元素为1外其它元素为0的向量；softmax(a)=exp(a)1Texp(a)softmax(a)=exp⁡(a)1Texp⁡(a)，其中exp(a)exp⁡(a)表示逐元素求指数，11代表全1向量。

解：首先将softmax函数代入并写成

l=−yT(log(exp(Wx))−1log(1Texp(Wx)))=−yTWx+log(1Texp(Wx))l=−yT(log⁡(exp⁡(Wx))−1log⁡(1Texp⁡(Wx)))=−yTWx+log⁡(1Texp⁡(Wx))

这里要注意向量除标量求逐元素log满足

log(b/c)=log(b)−1log(c)log⁡(b/c)=log⁡(b)−1log⁡(c)

以及yy满足yT1=1yT1=1。求微分，使用矩阵乘法、逐元素函数等法则：

dl=−yTdWx+1T(exp(Wx)⊙(dWx))1Texp(Wx)dl=−yTdWx+1T(exp⁡(Wx)⊙(dWx))1Texp⁡(Wx)

再套上迹并做交换，其中第二项的分子是

tr(1T(exp(Wx)⊙(dWx)))=tr((1⊙exp(Wx))TdWx)=tr(exp(Wx)TdWx)tr(1T(exp⁡(Wx)⊙(dWx)))=tr((1⊙exp⁡(Wx))TdWx)=tr(exp⁡(Wx)TdWx)

，故

dl=tr(−yTdWx+exp(Wx)TdWx1Texp(Wx))=tr(x(softmax(Wx)−y)TdW)dl=tr(−yTdWx+exp⁡(Wx)TdWx1Texp⁡(Wx))=tr(x(softmax(Wx)−y)TdW)

。对照导数与微分的联系，得到∂l∂W=(softmax(Wx)−y)xT∂l∂W=(softmax(Wx)−y)xT。

另解：定义a=Wxa=Wx，则l=−yTlogsoftmax(a)l=−yTlog⁡softmax(a)，先如上求出∂l∂a=softmax(a)−y∂l∂a=softmax(a)−y，再利用复合法则：dl=tr(∂l∂aTda)=tr(∂l∂aTdWx)=tr(x∂l∂aTdW)dl=tr(∂l∂aTda)=tr(∂l∂aTdWx)=tr(x∂l∂aTdW)，得到∂l∂W=∂l∂axT∂l∂W=∂l∂axT。

例4【方差的最大似然估计】：样本x1,…,xn∼N(μ,Σ)x1,…,xn∼N(μ,Σ)，其中ΣΣ是对称正定矩阵，求方差ΣΣ的最大似然估计。写成数学式是：l=log|Σ|+1n∑ni=1(xi−x¯)TΣ−1(xi−x¯)l=log⁡|Σ|+1n∑i=1n(xi−x¯)TΣ−1(xi−x¯)，求∂l∂Σ∂l∂Σ的零点。

解：首先求微分，使用矩阵乘法、行列式、逆等运算法则，第一项是dlog|Σ|=|Σ|−1d|Σ|=tr(Σ−1dΣ)dlog⁡|Σ|=|Σ|−1d|Σ|=tr(Σ−1dΣ)，第二项是1n∑ni=1(xi−x¯)TdΣ−1(xi−x¯)=−1n∑ni=1(xi−x¯)TΣ−1dΣΣ−1(xi−x¯)1n∑i=1n(xi−x¯)TdΣ−1(xi−x¯)=−1n∑i=1n(xi−x¯)TΣ−1dΣΣ−1(xi−x¯)。再给第二项套上迹做交换：dl=tr((Σ−1−Σ−1SnΣ−1)dΣ)dl=tr((Σ−1−Σ−1SnΣ−1)dΣ)，其中Sn:=1n∑ni=1(xi−x¯)(xi−x¯)TSn:=1n∑i=1n(xi−x¯)(xi−x¯)T定义为样本方差。对照导数与微分的联系，有∂l∂Σ=(Σ−1−Σ−1SnΣ−1)T∂l∂Σ=(Σ−1−Σ−1SnΣ−1)T，其零点即ΣΣ的最大似然估计为Σ=SnΣ=Sn。

最后一例留给经典的神经网络。神经网络的求导术是学术史上的重要成果，还有个专门的名字叫做BP算法，我相信如今很多人在初次推导BP算法时也会颇费一番脑筋，事实上使用矩阵求导术来推导并不复杂。为简化起见，我们推导二层神经网络的BP算法。

例5【二层神经网络】：

l=−yTlogsoftmax(W2σ(W1x))l=−yTlog⁡softmax(W2σ(W1x))

求

∂l∂W1和∂l∂W2∂l∂W1和∂l∂W2

其中yy是除一个元素为1外其它元素为0的向量，softmax(a)=exp(a)1Texp(a)softmax(a)=exp⁡(a)1Texp⁡(a)同例3，σ(⋅)σ(⋅)是逐元素sigmoidsigmoid函数σ(a)=11+exp(−a)σ(a)=11+exp⁡(−a)。

解：定义a1=W1x，h1=σ(a1)，a2=W2h1a1=W1x，h1=σ(a1)，a2=W2h1，则l=−yTlogsoftmax(a2)l=−yTlog⁡softmax(a2)。在例3中已求出∂l∂a2=softmax(a2)−y∂l∂a2=softmax(a2)−y。使用复合法则，注意此处h1,W2h1,W2都是变量：

dl=tr(∂l∂a2Tda2)=tr(∂l∂a2TdW2h1)+tr(∂l∂a2TW2dh1)dl=tr(∂l∂a2Tda2)=tr(∂l∂a2TdW2h1)+tr(∂l∂a2TW2dh1)

，使用矩阵乘法交换的迹技巧从第一项得到∂l∂W2=∂l∂a2hT1∂l∂W2=∂l∂a2h1T，从第二项得到∂l∂h1=WT2∂l∂a2∂l∂h1=W2T∂l∂a2。接下来求∂l∂a1∂l∂a1，继续使用复合法则，并利用矩阵乘法和逐元素乘法交换的迹技巧：

tr(∂l∂h1Tdh1)=tr(∂l∂h1T(σ′(a1)⊙da1))=tr((∂l∂h1⊙σ′(a1))Tda1)tr(∂l∂h1Tdh1)=tr(∂l∂h1T(σ′(a1)⊙da1))=tr((∂l∂h1⊙σ′(a1))Tda1)

得到∂l∂a1=∂l∂h1⊙σ′(a1)∂l∂a1=∂l∂h1⊙σ′(a1)。为求∂l∂W1∂l∂W1再用一次复合法则：

tr(∂l∂a1Tda1)=tr(∂l∂a1TdW1x)=tr(x∂l∂a1TdW1)tr(∂l∂a1Tda1)=tr(∂l∂a1TdW1x)=tr(x∂l∂a1TdW1)

得到

∂l∂W1=∂l∂a1xT

来讲矩阵对矩阵的求导术。使用小写字母x表示标量，粗体小写字母 $\boldsymbol{x}$ 表示列向量，大写字母X表示矩阵。矩阵对矩阵的求导采用了向量化的思路，常应用于二阶方法求解优化问题。

首先来琢磨一下定义。矩阵对矩阵的导数，需要什么样的定义？第一，矩阵F(p×q)对矩阵X(m×n)的导数应包含所有mnpq个偏导数 $\frac{\partial F_{kl}}{\partial X_{ij}}$ ，从而不损失信息；第二，导数与微分有简明的联系，因为在计算导数和应用中需要这个联系；第三，导数有简明的从整体出发的算法。我们先定义向量 $\boldsymbol{f}$ (p×1)对向量 $\boldsymbol{x}$ (m×1)的导数 $\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_1}\\ \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial f_1}{\partial x_m} & \frac{\partial f_2}{\partial x_m} & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_m}\\ \end{bmatrix}$ (m×p)，有 $d\boldsymbol{f} = \frac{\partial \boldsymbol{f} }{\partial \boldsymbol{x} }^T d\boldsymbol{x}$ ；再定义矩阵的（按列优先）向量化 $\mathrm{vec}(X) = [X_{11}, \ldots, X_{m1}, X_{12}, \ldots, X_{m2}, \ldots, X_{1n}, \ldots, X_{mn}]^T$ (mn×1)，并定义矩阵F对矩阵X的导数 $\frac{\partial F}{\partial X} = \frac{\partial \mathrm{vec}(F)}{\partial \mathrm{vec}(X)}$ (mn×pq)。导数与微分有联系 $\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial X}^T \mathrm{vec}(dX)$ 。几点说明如下：

按此定义，标量f对矩阵X(m×n)的导数 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 是mn×1向量，与上篇的定义不兼容，不过二者容易相互转换。为避免混淆，用记号 $\nabla_X f$ 表示上篇定义的m×n矩阵，则有 $\frac{\partial f}{\partial X}=\mathrm{vec}(\nabla_X f)$ 。虽然本篇的技术可以用于标量对矩阵求导这种特殊情况，但使用上篇中的技术更方便。读者可以通过上篇中的算例试验两种方法的等价转换。
标量对矩阵的二阶导数，又称Hessian矩阵，定义为 $\nabla^2_X f = \frac{\partial^2 f}{\partial X^2} = \frac{\partial \nabla_X f}{\partial X}$ (mn×mn)，是对称矩阵。对向量 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 或矩阵 $\nabla_X f$ 求导都可以得到Hessian矩阵，但从矩阵 $\nabla_X f$ 出发更方便。
$\frac{\partial F}{\partial X} = \frac{\partial\mathrm{vec} (F)}{\partial X} = \frac{\partial F}{\partial \mathrm{vec}(X)} = \frac{\partial\mathrm{vec}(F)}{\partial \mathrm{vec}(X)}$ ，求导时矩阵被向量化，弊端是这在一定程度破坏了矩阵的结构，会导致结果变得形式复杂；好处是多元微积分中关于梯度、Hessian矩阵的结论可以沿用过来，只需将矩阵向量化。例如优化问题中，牛顿法的更新 $\Delta X$ ，满足 $\mathrm{vec}(\Delta X) = -(\nabla^2_X f)^{-1}\mathrm{vec}(\nabla_X f)$ 。
在资料中，矩阵对矩阵的导数还有其它定义，比如 $\frac{\partial F}{\partial X} = \left[\frac{\partial F_{kl}}{\partial X}\right]$ (mp×nq)，它能兼容上篇中的标量对矩阵导数的定义，但微分与导数的联系（dF等于 $\frac{\partial F}{\partial X}$ 中每个m×n子块分别与dX做内积）不够简明，不便于计算和应用。

然后来建立运算法则。仍然要利用导数与微分的联系 $\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial X}^T \mathrm{vec}(dX)$ ，求微分的方法与上篇相同，而从微分得到导数需要一些向量化的技巧：

线性： $\mathrm{vec}(A+B) = \mathrm{vec}(A) + \mathrm{vec}(B)$ 。
矩阵乘法： $\mathrm{vec}(AXB) = (B^T \otimes A) \mathrm{vec}(X)$ ，其中 $\otimes$ 表示Kronecker积，A(m×n)与B(p×q)的Kronecker积是 $A\otimes B = [A_{ij}B]$ (mp×nq)。此式证明见张贤达《矩阵分析与应用》第107-108页。
转置： $\mathrm{vec}(A^T) = K_{mn}\mathrm{vec}(A)$ ，A是m×n矩阵，其中 $K_{mn}$ (mn×mn)是交换矩阵(commutation matrix)。
逐元素乘法： $\mathrm{vec}(A\odot X) = \mathrm{diag}(A)\mathrm{vec}(X)$ ，其中 $\mathrm{diag}(A)$ (mn×mn)是用A的元素（按列优先）排成的对角阵。

观察一下可以断言，若矩阵函数F是矩阵X经加减乘法、行列式、逆、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对F求微分，再做向量化并使用技巧将其它项交换至vec(dX)左侧，即能得到导数。

再谈一谈复合：假设已求得 $\frac{\partial F}{\partial Y}$ ，而Y是X的函数，如何求 $\frac{\partial F}{\partial X}$ 呢？从导数与微分的联系入手， $\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial Y}^T\mathrm{vec}(dY) = \frac{\partial F}{\partial Y}^T\frac{\partial Y}{\partial X}^T\mathrm{vec}(dX)$ ，可以推出链式法则 $\frac{\partial F}{\partial X} = \frac{\partial Y}{\partial X}\frac{\partial F}{\partial Y}$ 。

和标量对矩阵的导数相比，矩阵对矩阵的导数形式更加复杂，从不同角度出发常会得到形式不同的结果。有一些Kronecker积和交换矩阵相关的恒等式，可用来做等价变形：

$(A\otimes B)^T = A^T \otimes B^T$ 。
$\mathrm{vec}(\boldsymbol{ab}^T) = \boldsymbol{b}\otimes\boldsymbol{a}$ 。
$(A\otimes B)(C\otimes D) = (AC)\otimes (BD)$ 。可以对 $F = D^TB^TXAC$ 求导来证明，一方面，直接求导得到 $\frac{\partial F}{\partial X} = (AC) \otimes (BD)$ ；另一方面，引入 $Y = B^T X A$ ，有 $\frac{\partial F}{\partial Y} = C \otimes D, \frac{\partial Y}{\partial X} = A \otimes B$ ，用链式法则得到 $\frac{\partial F}{\partial X} = (A\otimes B)(C \otimes D)$ 。
$K_{mn} = K_{nm}^T, K_{mn}K_{nm} = I$ 。
$K_{pm}(A\otimes B) K_{nq} = B\otimes A$ ，A是m×n矩阵，B是p×q矩阵。可以对 $AXB^T$ 做向量化来证明，一方面， $\mathrm{vec}(AXB^T) = (B\otimes A)\mathrm{vec}(X)$ ；另一方面， $\mathrm{vec}(AXB^T) = K_{pm}\mathrm{vec}(BX^TA^T) = K_{pm}(A\otimes B)\mathrm{vec}(X^T) = K_{pm}(A\otimes B) K_{nq}\mathrm{vec}(X)$ 。

接下来演示一些算例。

例1： $F = AX$ ，X是m×n矩阵，求 $\frac{\partial F}{\partial X}$ 。

解：先求微分： $dF=AdX$ ，再做向量化，使用矩阵乘法的技巧，注意在dX右侧添加单位阵： $\mathrm{vec}(dF) = \mathrm{vec}(AdX) = (I_n\otimes A)\mathrm{vec}(dX)$ ，对照导数与微分的联系得到 $\frac{\partial F}{\partial X} = I_n\otimes A^T$ 。

特例：如果X退化为向量， $\boldsymbol{f} = A \boldsymbol{x}$ ，则根据向量的导数与微分的关系 $d\boldsymbol{f} = \frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}}^T d\boldsymbol{x}$ ，得到 $\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}} = A^T$ 。

例2： $f = \log |X|$ ，X是n×n矩阵，求 $\nabla_X f$ 和 $\nabla^2_X f$ 。

解：使用上篇中的技术可求得 $\nabla_X f = X^{-1T}$ 。为求 $\nabla^2_X f$ ，先求微分： $d\nabla_X f = -(X^{-1}dXX^{-1})^T$ ，再做向量化，使用转置和矩阵乘法的技巧 $\mathrm{vec}(d\nabla_X f)= -K_{nn}\mathrm{vec}(X^{-1}dX X^{-1}) = -K_{nn}(X^{-1T}\otimes X^{-1})\mathrm{vec}(dX)$ ，对照导数与微分的联系，得到 $\nabla^2_X f = -K_{nn}(X^{-1T}\otimes X^{-1})$ ，注意它是对称矩阵。在 $X$ 是对称矩阵时，可简化为 $\nabla^2_X f = -X^{-1}\otimes X^{-1}$ 。

例3： $F = A\exp(XB)$ ，A是l×m，X是m×n，B是n×p矩阵，exp()为逐元素函数，求 $\frac{\partial F}{\partial X}$ 。

解：先求微分： $dF = A(\exp(XB)\odot (dXB))$ ，再做向量化，使用矩阵乘法的技巧： $\mathrm{vec}(dF) = (I_p\otimes A)\mathrm{vec}(\exp(XB)\odot (dXB))$ ，再用逐元素乘法的技巧： $\mathrm{vec}(dF) = (I_p \otimes A) \mathrm{diag}(\exp(XB))\mathrm{vec}(dXB)$ ，再用矩阵乘法的技巧： $\mathrm{vec}(dF) = (I_p\otimes A)\mathrm{diag}(\exp(XB))(B^T\otimes I_m)\mathrm{vec}(dX)$ ，对照导数与微分的联系得到 $\frac{\partial F}{\partial X} = (B\otimes I_m)\mathrm{diag}(\exp(XB))(I_p\otimes A^T)$ 。

例4【一元logistic回归】： $l = -y \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{w} + \log(1 + \exp(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{w}))$ ，求 $\nabla_\boldsymbol{w} l$ 和 $\nabla^2_\boldsymbol{w} l$ 。其中 $y$ 是取值0或1的标量， $\boldsymbol{x},\boldsymbol{w}$ 是向量。

解：使用上篇中的技术可求得 $\nabla_\boldsymbol{w} l = \boldsymbol{x}(\sigma(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{w}) - y)$ ，其中 $\sigma(a) = \frac{\exp(a)}{1+\exp(a)}$ 为sigmoid函数。为求 $\nabla^2_\boldsymbol{w} l$ ，先求微分： $d\nabla_\boldsymbol{w} l = \boldsymbol{x} \sigma'(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{w})\boldsymbol{x}^T d\boldsymbol{w}$ ，其中 $\sigma'(a) = \frac{\exp(a)}{(1+\exp(a))^2}$ 为sigmoid函数的导数，对照导数与微分的联系，得到 $\nabla_w^2 l = \boldsymbol{x}\sigma'(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{w})\boldsymbol{x}^T$ 。

推广：样本 $(\boldsymbol{x}_1, y_1), \dots, (\boldsymbol{x}_n,y_n)$ ， $l = \sum_{i=1}^N \left(-y_i \boldsymbol{x}_i^T\boldsymbol{w} + \log(1+\exp(\boldsymbol{x_i}^T\boldsymbol{w}))\right)$ ，求 $\nabla_w l$ 和 $\nabla^2_w l$ 。有两种方法，方法一：先对每个样本求导，然后相加；方法二：定义矩阵 $X = \begin{bmatrix}\boldsymbol{x}_1^T \\ \vdots \\ \boldsymbol{x}_n^T \end{bmatrix}$ ，向量 $\boldsymbol{y} = \begin{bmatrix}y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{bmatrix}$ ，将 $l$ 写成矩阵形式 $l = -\boldsymbol{y}^T X\boldsymbol{w} + \boldsymbol{1}^T\log(\boldsymbol{1} + \exp(X\boldsymbol{w}))$ ，进而可以求得 $\nabla_\boldsymbol{w} l = X^T(\sigma(X\boldsymbol{w}) - \boldsymbol{y})$ ， $\nabla_w^2 l = X^T\text{diag}(\sigma'(X\boldsymbol{w}))X$ 。

例5【多元logistic回归】： $l = -\boldsymbol{y}^T\log \text{softmax}(W\boldsymbol{x}) = -\boldsymbol{y}^TW\boldsymbol{x} + \log(\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x}))$ ，求 $\nabla_W l$ 和 $\nabla^2_W l$ 。

解：上篇例3中已求得 $\nabla_W l = (\text{softmax}(W\boldsymbol{x})-\boldsymbol{y})\boldsymbol{x}^T$ 。为求 $\nabla^2_W l$ ，先求微分：定义 $\boldsymbol{a} = W\boldsymbol{x}$ ， $d\text{softmax}(\boldsymbol{a}) = \frac{\exp(\boldsymbol{a})\odot d\boldsymbol{a}}{\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a})} - \frac{\exp(\boldsymbol{a}) (\boldsymbol{1}^T(\exp(\boldsymbol{a})\odot d\boldsymbol{a}))}{(\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a}))^2}$ ，这里需要化简去掉逐元素乘法，第一项中 $\exp(\boldsymbol{a})\odot d\boldsymbol{a} = \text{diag}(\exp(\boldsymbol{a})) d\boldsymbol{a}$ ，第二项中 $\boldsymbol{1}^T(\exp(\boldsymbol{a})\odot d\boldsymbol{a}) = \exp(\boldsymbol{a})^Td\boldsymbol{a}$ ，故有 $d\text{softmax}(\boldsymbol{a}) = \text{softmax}'(\boldsymbol{a})d\boldsymbol{a}$ ，其中 $\text{softmax}'(\boldsymbol{a}) = \frac{\text{diag}(\exp(\boldsymbol{a}))}{\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a})} - \frac{\exp(\boldsymbol{a})\exp(\boldsymbol{a})^T}{(\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a}))^2}$ ，代入有 $d\nabla_W l = \text{softmax}'(\boldsymbol{a})d\boldsymbol{a}\boldsymbol{x}^T = \text{softmax}'(W\boldsymbol{x})dW \boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^T$ ，做向量化并使用矩阵乘法的技巧，得到 $\nabla^2_W l = (\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^T) \otimes \text{softmax}'(W\boldsymbol{x})$ 。

最后做个总结。我们发展了从整体出发的矩阵求导的技术，导数与微分的联系是计算的枢纽，标量对矩阵的导数与微分的联系是 $df = \mathrm{tr}(\nabla_X^T f dX)$ ，先对f求微分，再使用迹技巧可求得导数，特别地，标量对向量的导数与微分的联系是 $df = \nabla^T_{\boldsymbol{x}}f d\boldsymbol{x}$ ；矩阵对矩阵的导数与微分的联系是 $\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial X}^T \mathrm{vec}(dX)$ ，先对F求微分，再使用向量化的技巧可求得导数，特别地，向量对向量的导数与微分的联系是 $d\boldsymbol{f} = \frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}}^Td\boldsymbol{x}$ 。

参考资料：

张贤达. 矩阵分析与应用. 清华大学出版社有限公司, 2004.
Fackler, Paul L. "Notes on matrix calculus." North Carolina State University(2005).
Petersen, Kaare Brandt, and Michael Syskind Pedersen. "The matrix cookbook." Technical University of Denmark 7 (2008): 15.
HU, Pili. "Matrix Calculus: Derivation and Simple Application." (2012).

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