矩阵求导（上）——标量对矩阵的求导

参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/24709748
这部分内容分两篇整理，上篇讲标量对矩阵的求导，下篇讲矩阵对矩阵的求导。

• 本文使用小写字母x表示标量，粗体小写字母 $\boldsymbol{x}$表示（列）向量，大写字母X表示矩阵。

定义：标量f对矩阵X的导数，定义为 $\frac{\partial f}{\partial X} = \left[\frac{\partial f }{\partial X_{ij}}\right]$，即f对X逐元素求导排成与X尺寸相同的矩阵。然而，这个定义在计算中并不好用，实用上的原因是在对较复杂的函数难以逐元素求导；哲理上的原因是逐元素求导破坏了整体性。

试想，为何要将f看做矩阵X而不是各元素 $X_{ij}$的函数呢？
答案是用矩阵运算更整洁。所以在求导时不宜拆开矩阵，而是要找一个从整体出发的算法。

为此，我们来回顾，一元微积分中的导数（标量对标量的导数）与微分有联系： $df = f'(x)dx$；
多元微积分中的梯度（标量对向量的导数）也与微分有联系： $df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i = \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{x}}^T d\boldsymbol{x}$，这里第一个等号是全微分公式，第二个等号表达了梯度与微分的联系：全微分 $df是n\times1$梯度向量 $\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{x}}$与 $n\times1$微分向量 $d\boldsymbol{x}$的内积；

受此启发，我们将矩阵导数与微分建立联系： $df = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial X_{ij}}dX_{ij} = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial X}^T dX\right)$。其中 $tr$代表迹(trace)是方阵对角线元素之和，满足性质：对尺寸相同的矩阵A,B， $\text{tr}(A^TB) = \sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}，即\text{tr}(A^TB)$是矩阵A,B的内积。与梯度相似，这里第一个等号是全微分公式，第二个等号表达了矩阵导数与微分的联系：全微分df是 $m\times n导数\frac{\partial f}{\partial X}与m\times n$微分矩阵dX的内积。

然后来建立运算法则。回想遇到较复杂的一元函数如 $f = \log(2+\sin x)e^{\sqrt{x}}$，我们是如何求导的呢？通常不是从定义开始求极限，而是先建立了初等函数求导和四则运算、复合等法则，再来运用这些法则。故而，我们来创立常用的矩阵微分的运算法则：

• 加减法： $d(X\pm Y) = dX \pm dY$；
• 矩阵乘法： $d(XY) = (dX)Y + X dY$ ；
• 转置： $d(X^T) = (dX)^T$；
• 迹： $d\text{tr}(X) = \text{tr}(dX)$。
• 逆： $dX^{-1} = -X^{-1}dX X^{-1}$。此式可在 $XX^{-1}=I$两侧求微分来证明。
• 行列式： $d|X| = \text{tr}(X^{\#}dX)$ ，其中 $X^{\#}$表示X的伴随矩阵，在X可逆时又可以写作 $d|X|= |X|\text{tr}(X^{-1}dX)$。此式可用Laplace展开来证明，详见张贤达《矩阵分析与应用》第279页。
• 逐元素乘法： $d(X\odot Y) = dX\odot Y + X\odot dY$， $\odot$表示尺寸相同的矩阵X,Y逐元素相乘。
• 逐元素函数： $d\sigma(X) = \sigma'(X)\odot dX$ ， $\sigma(X) = \left[\sigma(X_{ij})\right]$是逐元素标量函数运算， $\sigma'(X)=[\sigma'(X_{ij})]$是逐元素求导数。举个例子， $X=[x_1, x_2], d \sin(X) = [\cos x_1 dx_1, \cos x_2 dx_2] = \cos(X)\odot dX$。

我们试图利用矩阵导数与微分的联系 $df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial X}^T dX\right)$，在求出左侧的微分 $df$后，该如何写成右侧的形式并得到导数呢？这需要一些迹技巧(trace trick)：

1. 标量套上迹： $a = \text{tr}(a)$
2. 转置： $\mathrm{tr}(A^T) = \mathrm{tr}(A)$
3. 线性： $\text{tr}(A\pm B) = \text{tr}(A)\pm \text{tr}(B)$。
4. 矩阵乘法交换： $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$，其中A与 $B^T$尺寸相同。两侧都等于 $\sum_{i,j}A_{ij}B_{ji}$。
5. 矩阵乘法/逐元素乘法交换： $\text{tr}(A^T(B\odot C)) = \text{tr}((A\odot B)^TC)$，其中A, B, C尺寸相同。两侧都等于 $\sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}C_{ij}$。

观察一下可以断言，若标量函数f是矩阵X经加减乘法、行列式、逆、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对f求微分，再使用迹技巧给 $df$套上迹并将其它项交换至 $dX$左侧，即能得到导数。

在建立法则的最后，来谈一谈复合：假设已求得 $\frac{\partial f}{\partial Y}$，而 $Y是X$的函数，如何求 $\frac{\partial f}{\partial X}$呢？在微积分中有标量求导的链式法则 $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial x}$，但这里我们不能沿用链式法则，因为矩阵对矩阵的导数 $\frac{\partial Y}{\partial X}$截至目前仍是未定义的。于是我们继续追本溯源，链式法则是从何而来？源头仍然是微分。我们直接从微分入手建立复合法则：先写出 $df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial Y}^T dY\right)$，再将 $dY用dX$表示出来代入，并使用迹技巧将其他项交换至 $dX$左侧，即可得到 $\frac{\partial f}{\partial X}$。

接下来演示一些算例。特别提醒要依据已经建立的运算法则来计算，不能随意套用微积分中标量导数的结论，比如认为AX对X的导数为A，这是没有根据、意义不明的。

• 例1： $f = \boldsymbol{a}^T X\boldsymbol{b}$，求 $\frac{\partial f}{\partial X}$。其中 $\boldsymbol{a}$是m×1列向量，X是 $m\times n$矩阵， $\boldsymbol{b}$是n×1列向量，f是标量。

  解：先使用矩阵乘法法则求微分，这里的 $\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$是常量， $d\boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}, d\boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}$，得到： $df = \boldsymbol{a}^T dX\boldsymbol{b}$ ，再套上迹并做矩阵乘法交换： $df = \text{tr}(\boldsymbol{a}^TdX\boldsymbol{b})= \text{tr}(\boldsymbol{b}\boldsymbol{a}^TdX)$，注意这里我们根据 $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)交换了\boldsymbol{a}^TdX与\boldsymbol{b}$。对照导数与微分的联系 $df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial X}^T dX\right)$，得到 $\frac{\partial f}{\partial X} = (\boldsymbol{b}\boldsymbol{a}^T)^T= \boldsymbol{a}\boldsymbol{b}^T$。

• 注意：这里不能用 $\frac{\partial f}{\partial X} =\boldsymbol{a}^T \frac{\partial X}{\partial X}\boldsymbol{b}=?$，导数与乘常数矩阵的交换是不合法则的运算（而微分是合法的）。有些资料在计算矩阵导数时，会略过求微分这一步，这是逻辑上解释不通的。

• 例2： $f = \boldsymbol{a}^T \exp(X\boldsymbol{b})$，求 $\frac{\partial f}{\partial X}$。其中 $\boldsymbol{a}$是m×1列向量，X是 $m\times n$矩阵， $\boldsymbol{b}$是n×1列向量，exp表示逐元素求指数， $f$是标量。
  解：先使用矩阵乘法、逐元素函数法则求微分： $df = \boldsymbol{a}^T(\exp(X\boldsymbol{b})\odot (dX\boldsymbol{b}))$，再套上迹并做矩阵乘法/逐元素乘法交换、矩阵乘法交换： $df = \text{tr}( \boldsymbol{a}^T(\exp(X\boldsymbol{b})\odot (dX\boldsymbol{b}))) =\text{tr}((\boldsymbol{a}\odot \exp(X\boldsymbol{b}))^TdX \boldsymbol{b}) = \text{tr}(\boldsymbol{b}(\boldsymbol{a}\odot \exp(X\boldsymbol{b}))^TdX)$，注意这里我们先根据 $\text{tr}(A^T(B\odot C)) = \text{tr}((A\odot B)^TC)$交换了 $\boldsymbol{a}、\exp(X\boldsymbol{b})与dX\boldsymbol{b}$，再根据 $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$交换了 $(\boldsymbol{a}\odot \exp(X\boldsymbol{b}))^TdX$与 $\boldsymbol{b}$。对照导数与微分的联系 $df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial X}^T dX\right)$，得到 $\frac{\partial f}{\partial X} = (\boldsymbol{b}(\boldsymbol{a}\odot \exp(X\boldsymbol{b}))^T)^T= (\boldsymbol{a}\odot \exp(X\boldsymbol{b}))\boldsymbol{b}^T$。

• 例3.【线性回归】： $l = \|X\boldsymbol{w}- \boldsymbol{y}\|^2$， 求 $\boldsymbol{w}$的最小二乘估计，即求 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}$的零点。其中 $\boldsymbol{y}$是 $m×1$列向量，X是 $m\times n$矩阵， $\boldsymbol{w}$是n×1列向量， $l$是标量。

  解：严格来说这是标量对向量的导数，不过可以把向量看做矩阵的特例。
  先将向量模平方改写成向量与自身的内积： $l = (X\boldsymbol{w}- \boldsymbol{y})^T(X\boldsymbol{w}- \boldsymbol{y})$，求微分，使用矩阵乘法、转置等法则： $dl = (Xd\boldsymbol{w})^T(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})+(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})^T(Xd\boldsymbol{w}) = 2(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})^TXd\boldsymbol{w}$。
  对照导数与微分的联系 $dl = \frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}^Td\boldsymbol{w}，得到\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}= (2(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})^TX)^T = 2X^T(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})$。 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}的零点即\boldsymbol{w}的最小二乘估计为\boldsymbol{w} = (X^TX)^{-1}X^T\boldsymbol{y}$。

• 例4.【方差的最大似然估计】：样本 $\boldsymbol{x}_1,\dots, \boldsymbol{x}_n\sim N(\boldsymbol{\mu}, \Sigma)$，求方差 $\Sigma$的最大似然估计。写成数学式是： $l = \log|\Sigma|+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})$，求 $\frac{\partial l }{\partial \Sigma}$的零点。其中 $\boldsymbol{x}_i是m\times 1$列向量， $\overline{\boldsymbol{x}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \boldsymbol{x}_i$是样本均值， $\Sigma是m\times m对称正定矩阵，l是标量$.

  解：首先求微分，使用矩阵乘法、行列式、逆等运算法则，
  第一项是 $d\log|\Sigma| = |\Sigma|^{-1}d|\Sigma| = \text{tr}(\Sigma^{-1}d\Sigma)$，
  第二项是 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^Td\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}}) = -\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1}d\Sigma\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})$。
  再给第二项套上迹做交换：
  $\text{tr}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1}d\Sigma\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\text{tr}\left((\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1}d\Sigma\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\text{tr}\left(\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1}d\Sigma\right)=\text{tr}(\Sigma^{-1}S\Sigma^{-1}d\Sigma)$，
  其中先交换迹与求和，然后将 $\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})$交换到左边，最后再交换迹与求和，
  并定义 $S = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T$为样本方差矩阵。得到 $dl = \text{tr}\left(\left(\Sigma^{-1}-\Sigma^{-1}S\Sigma^{-1}\right)d\Sigma\right)$。
  对照导数与微分的联系，有 $\frac{\partial l }{\partial \Sigma}=(\Sigma^{-1}-\Sigma^{-1}S\Sigma^{-1})^T$，其零点即 $\Sigma$的最大似然估计为 $\Sigma = S$。

• 例5【多元logistic回归】： $l = -\boldsymbol{y}^T\log\text{softmax}(W\boldsymbol{x})，求\frac{\partial l}{\partial W}$。其中 $\boldsymbol{y}$是除一个元素为1外其它元素为0的m×1列向量， $W是m\times n$矩阵， $\boldsymbol{x}$是n×1列向量， $l$是标量； $\text{softmax}(\boldsymbol{a})$ = $\frac{\exp(\boldsymbol{a})}{\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a})}$，其中 $\exp(\boldsymbol{a})$表示逐元素求指数， $\boldsymbol{1}$代表全1向量。

  解：首先将softmax函数代入并写成
  $l = -\boldsymbol{y}^T \left(\log (\exp(W\boldsymbol{x}))-\boldsymbol{1}\log(\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x}))\right)$ = $-\boldsymbol{y}^TW\boldsymbol{x} + \log(\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x}))$，这里要注意逐元素log满足等式 $\log(\boldsymbol{u}/c) = \log(\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{1}\log(c)$，以及 $\boldsymbol{y}满足\boldsymbol{y}^T \boldsymbol{1} = 1$。
  求微分，使用矩阵乘法、逐元素函数等法则： $dl =- \boldsymbol{y}^TdW\boldsymbol{x}+\frac{\boldsymbol{1}^T\left(\exp(W\boldsymbol{x})\odot(dW\boldsymbol{x})\right)}{\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x})}$。再套上迹并做交换，注意可化简 $\boldsymbol{1}^T\left(\exp(W\boldsymbol{x})\odot(dW\boldsymbol{x})\right) = \exp(W\boldsymbol{x})^TdW\boldsymbol{x}$，
  这是根据等式 $\boldsymbol{1}^T (\boldsymbol{u}\odot \boldsymbol{v}) = \boldsymbol{u}^T \boldsymbol{v}$，故 $dl = \text{tr}\left(-\boldsymbol{y}^TdW\boldsymbol{x}+\frac{\exp(W\boldsymbol{x})^TdW\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x})}\right) =\text{tr}(\boldsymbol{x}(\text{softmax}(W\boldsymbol{x})-\boldsymbol{y})^TdW)$。
  对照导数与微分的联系，得到 $\frac{\partial l}{\partial W}= (\text{softmax}(W\boldsymbol{x})-\boldsymbol{y})\boldsymbol{x}^T$。

  另解：定义 $\boldsymbol{a} = W\boldsymbol{x}$，则 $l = -\boldsymbol{y}^T\log\text{softmax}(\boldsymbol{a}) ，先如上求出\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}} = \text{softmax}(\boldsymbol{a})-\boldsymbol{y}$ ，
  再利用复合法则： $dl = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}}^Td\boldsymbol{a}\right) = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}}^TdW \boldsymbol{x}\right) = \text{tr}\left(\boldsymbol{x}\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}}^TdW\right)，得到\frac{\partial l}{\partial W}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}}\boldsymbol{x}^T$。

• 最后一例留给经典的神经网络。神经网络的求导术是学术史上的重要成果，还有个专门的名字叫做BP算法， 我相信如今很多人在初次推导BP算法时也会颇费一番脑筋，事实上使用矩阵求导术来推导并不复杂。
  为简化起见，我们推导二层神经网络的BP算法。

• 例6.【二层神经网络】： $l = -\boldsymbol{y}^T\log\text{softmax}(W_2\sigma(W_1\boldsymbol{x}))，求\frac{\partial l}{\partial W_1}和\frac{\partial l}{\partial W_2}$。其中 $\boldsymbol{y}$是除一个元素为1外其它元素为0的的 $m×1$列向量， $W_2是m\times p$矩阵， $W_1是p\times n$矩阵， $\boldsymbol{x}$是n×1列向量， $l$是标量； $\text{softmax}(\boldsymbol{a}) = \frac{\exp(\boldsymbol{a})}{\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a})}$,同例3， $\sigma(\cdot)$是逐元素 $sigmoid函数\sigma(a) = \frac{1}{1+\exp(-a)}$。

  解：定义 $\boldsymbol{a}_1=W_1\boldsymbol{x}，\boldsymbol{h}_1 = \sigma(\boldsymbol{a}_1)，\boldsymbol{a}_2 = W_2 \boldsymbol{h}_1，则l =-\boldsymbol{y}^T\log\text{softmax}(\boldsymbol{a}_2)$。
  在前例中已求出 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_2} = \text{softmax}(\boldsymbol{a}_2)-\boldsymbol{y}$ 。使用复合法则，注意此处 $\boldsymbol{h}_1, W_2$都是变量：
  $dl = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_2}^Td\boldsymbol{a}_2\right) = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_2}^TdW_2 \boldsymbol{h}_1\right) + \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_2}^TW_2 d\boldsymbol{h}_1\right)$，
  使用矩阵乘法交换的迹技巧从第一项得到 $\frac{\partial l}{\partial W_2}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_2}\boldsymbol{h}_1^T$，从第二项得到 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{h}_1}= W_2^T\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_2}$。
  $接下来求\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_1}$，继续使用复合法则，并利用矩阵乘法和逐元素乘法交换的迹技巧：
  $\text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_1}^Td\boldsymbol{h}_1\right) = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_1}^T(\sigma'(\boldsymbol{a}_1)\odot d\boldsymbol{a}_1)\right) = \text{tr}\left(\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_1}\odot \sigma'(\boldsymbol{a}_1)\right)^Td\boldsymbol{a}_1\right)$，得到 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_1}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_1}\odot\sigma'(\boldsymbol{a}_1)$.
  $为求\frac{\partial l}{\partial W_1}$，再用一次复合法则： $\text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_1}^Td\boldsymbol{a}_1\right) = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_1}^TdW_1\boldsymbol{x}\right) = \text{tr}\left(\boldsymbol{x}\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_1}^TdW_1\right)，得到\frac{\partial l}{\partial W_1}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_1}\boldsymbol{x}^T$。