LeetCode算法题69：x的平方根解析

实现 int sqrt(int x) 函数。
计算并返回 x 的平方根，其中 x 是非负整数。
由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去。
示例1：

输入: 4
输出: 2

示例2：

输入: 8
输出: 2
说明: 8 的平方根是 2.82842..., 
     由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

暴力法遍历整个实数集就不说了，虽然简单，但是时间复杂度太高。介绍两种算法求平方根，一种是二分查找，既然暴力法可以遍历从0到其本身，那么相当于查找一个数，所以查找有序数列一个很好的节省时间的方法就是二分法。一开始设定左右边界，左边界为1，右边界为x（数字本身），这里从1开始是为了程序的简单，1和0都直接返回数字本身。然后只要左边界还小于右边界就一直查找，查找过程是这样的，首先求取左右边界的中值，然后计算中值平方，如果中值平方大于目标数字，那说明偏大，将右边界设置为中值，（这里是向下取整求取一个近似值，所以这个算法中求的是大于目标数字的那个值，最后返回的是右边界减1），如果中值小于等于目标数字，那么左边界设置为中值加1。最后返回右边界减一。
C++源代码：

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if (x <= 1) return x;
        int left = 1, right = x;
        while (left < right) {
            int mid = (left + right) / 2;
            if (x / mid >= mid) left = mid + 1;
            else right = mid;
        }
        return right - 1;
    }
};

python的代码使用另一种求平方根的方法，就是使用牛顿迭代法。牛顿迭代法求平方根的迭代公式为：
$a_{n+1} = a_n - ({a_n^2} - n) / (2*a_n)\,.$
所以只要用这个公式求出一个数，其平方不大于目标数则为所求。之所以可以这么设置条件，是因为牛顿迭代法初值设置的很大时，一开始是从右向左收敛的，在精确值附近才会左右摆动，所以这里都是整数，因此可以这样设置条件。
python3源代码：

class Solution:
    def mySqrt(self, x):
        """
        :type x: int
        :rtype: int
        """
        res = x
        while res * res > x:
            res = (res + x // res) // 2;	# 公式变形，只有用这个才不会发生错误
        return res

这个程序如果不太好懂可以把条件换成两次迭代值的差小于某一阈值，这里的话只要小于0.1即可求得最后值。
python3源代码：

class Solution:
    def mySqrt(self, x):
        """
        :type x: int
        :rtype: int
        """
        if x == 0:
            return 0
        res = 1.0
        pre = 0.0
        while abs(res - pre) > 0.1:
            pre = res
            res = (pre + x / pre) / 2
            # res = pre - (pre * pre - x) / (2 * pre) #也可以
        return int(res)