2018.10.28【CQOI2018】【洛谷P4455】【BZOJ5297】社交网络（有向图矩阵树）

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解析：

其实 $Kirchoff$的无向图矩阵本来就是有向图矩阵的一个扩展。所以这里仅将有向图的 $Kirchoff$矩阵作一个简单的阐述，详细证明请参考其他 $dalao$的博客。（才不是因为我看网上证明都这么多了懒得写呢）

一条有向边 $<u,v>$在 $Kirchoff$矩阵上我们将 $C_{v,v}$加1，因为这是入度，并且在 $C_{v,u}$上减一。

最后我们要计算的是以某个节点为根的树形图的个数，我们将这个节点编号的一行一列去掉，计算剩余部分的行列式就行了。

其实会了这道题再回去看无向图的 $Matrix Tree$定理就觉得一切都明白了许多。

所以这里为了方便，将所有节点编号-1，算出矩阵去掉第0行再计算行列式就行了。

由于是求模意义下的，所以要采用欧几里得迭代法来实现高斯消元，将原矩阵消成上三角矩阵。

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代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define re register
#define gc getchar
#define pc putchar
#define cs const

inline int getint(){
	re int num;
	re char c;
	while(!isdigit(c=gc()));num=c^48;
	while(isdigit(c=gc()))num=(num<<1)+(num<<3)+(c^48);
	return num;
}

cs int mod=10007,N=251;
struct matrix{
	int arr[N][N];
	int *cs operator[](cs int &offset){
		return arr[offset];
	}
	
	int matrix_tree(int n){
		for(int re i=1;i<=n;++i)
		for(int re j=1;j<=n;++j)arr[i][j]=(arr[i][j]%mod+mod)%mod;
		int res=1;
		for(int re i=1;i<=n;++i){
			for(int re j=i+1;j<=n;++j){
				while(arr[j][i]){
					int tmp=arr[i][i]/arr[j][i];
					for(int re k=i;k<=n;++k)arr[i][k]=(arr[i][k]-arr[j][k]*tmp%mod+mod)%mod;
					for(int re k=i;k<=n;++k)swap(arr[i][k],arr[j][k]);
					res=mod-res;
				}
			}
			res=(res*arr[i][i])%mod;
		}
		return res;
	}
	
}C; 

int n,m;
signed main(){
	n=getint();
	m=getint();
	for(int re i=1;i<=m;++i){
		int v=getint()-1;
		int u=getint()-1;
		++C[v][v];
		--C[v][u];
	}
	cout<<C.matrix_tree(n-1);
	return 0;
}