微积分基础知识：泰勒公式

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泰勒展开式

泰勒展开式是数学中极其强大的函数近似工具。利用函数某个点的导数，来近似这个点附近的函数值。

意义：用一个 $n$次多项式来近似函数 $f(x)$在 $a$点附近的部分。

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1. $n$阶泰勒公式：
若 $f(x)$有直到 $n+1$的导数，则有
$\bm {f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)\frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^{(n)}(a)\frac{(x-a)^n}{n!}+R_n(x) \ \ \ \ \ }$
其中
$\bm{R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},\ c\in(a,x)}$

$\bm{R_n(x)}$被称为拉格朗日余项。

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2. $n$阶泰勒公式的推导

我们希望让n次多项式
$\bm{P_n(x)=b_0+b_1(x-a)+b_2(x-a)^2+...+b_n(x-a)^n \ \ \ \ \ \ \ (1)}$
能够近似函数 $f(x)$在点 $a$附近的部分。
对 $P_n(x)$求各阶导数，有
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ P_n'(x)=b_1+2b_2(x-a)+...+nb_n(x-a)^{n-1}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ P_n''(x)=2!b_2+...+n(n-1)b_n(x-a)^{n-2}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ...$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ P^{(n)}_n(x)=n!b_n$

让 $P_n(x)$满足以下条件：
  (1) 当 $x=a$，该多项式的值和 $f(x)$的函数值相等，则
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f(a)=\textcolor{green}{P_n(a)=b_0}$
  (2) 当 $x=a$，该多项式的各阶导数值和 $f(x)$的各阶导数值相等，则
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f'(a)=\textcolor{green}{P_n'(a)=b_1}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f''(a)=\textcolor{green}{P_n''(a)=2!b_2}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ...$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f^{(n)}(a)=\textcolor{green}{P_n^{(n)}(a)=n!b_n}$

即得
$b_0=f(a), b_1=f'(a), b_2=\frac{f''(a)}{2!},...b_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$
代入到公式(1)，则有
$\bm {f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)\frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^{(n)}(a)\frac{(x-a)^n}{n!}+R_n(x) \ \ \ \ \ }$

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3. 用微分中值定理证明拉格朗日余项：
构造一个函数 $g(t)$：
$g(t)=f(x)-f(t)-f'(t)(x-t)-f''(t)\frac{(x-t)^2}{2!}-...-f^{(n)}(t)\frac{(x-t)^n}{n!}-R_n(x)\frac{(x-t)^{n+1}}{(x-a)^{n+1}}$
则有
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g(x)=0$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g(a)=R_n-R_n=0$
对 $g(t)$求导有

$g'(t)=\textcolor{red}{-f'(t)}-[\textcolor{red}{f'(t)(-1)}+\textcolor{darkorange}{f''(t)(x-t)}]-[\textcolor{darkorange}{f''(t)(x-t)(-1)}+\textcolor{blue}{f'''(t)\frac{(x-t)^2}{2!}}]-...\\ -[\textcolor{blue}{f^{(n)}(t)\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}(-1)}+f^{(n+1)}(t)\frac{(x-t)^n}{n!}]+R_n(x)\frac{(n+1)(x-t)^n}{(x-a)^{n+1}}$
相邻两项相互抵消，则
$g'(t)=-f^{(n+1)}(t)\frac{(x-t)^n}{n!}+R_n(x)\frac{(n+1)(x-t)^n}{(x-a)^{n+1}}$
根据罗尔定理，存在 $c\in(a,x)$，使得 $g'(c)=0$，则
$g'(c)=-f^{(n+1)}(c)\frac{(x-c)^n}{n!}+R_n(x)\frac{(n+1)(x-c)^n}{(x-a)^{n+1}}=0$
两边同时除以 $(x-c)^n$，得
$-\frac{(f^{(n+1)}(c)}{n!}+R_n(x)\frac{(n+1)}{(x-a)^{n+1}}=0$
所以
$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},\ c\in(a,x)$

参考资料：
1.《高等数学》第六版（上册）.高等教育出版社, 2007, p. 275–282.
2.https://www.youtube.com/watch?v=NZBvVkGn8CU