杨辉三角形变型【庞果网】

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又一个庞果网的题目

题目描述

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1. 1
2. 1 1 1
3. 1 2 3 2 1
4. 1 3 6 7 6 3 1

以上三角形的数阵，第一行只有一个数1， 以下每行的每个数，是恰好是它上面的数，左上的数和右上数等3个数之和（如果不存在某个数，认为该数就是0）。

求第n行第一个偶数出现的位置。如果没有偶数，则输出-1。

例如

• 输入1，则输出-1
• 输入3，则输出2
• 输入4，则输出3。
• 输入n(n <= 1000000000)

思路

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刚开始没看清题目，以为是说杨辉三角形呢，结果是杨辉三角形的变形，和是上面的三个数字，稍微复杂一点点。

首先，我们把这个三角形写全面一点

1. 1
2. 1 1 1
3. 1 2 3 2 1
4. 1 3 6 7 6 3 1
5. 1 4 10 16 19 16 10 4 1
6. 1 5 15 30 45 51 45 30 15 5 1
7. 1 6 21 50 90 126 141 126 90 50 21 6 1

很明显，再往下写靠笔算就比较困难的，现在能找到的规律就是如果是奇数排，第二个肯定是偶数。

那么，对于一个数的奇偶性，有些什么性质呢？初中数学我们就知道：

• 两个奇数的和是偶数
• 三个奇数的和是奇数
• 一个奇数两个零的和是奇数
• 任意偶数的和还是偶数

好了，有了这几个性质，我们不来写三角形了，就写三角形的奇偶性，我们用1表示奇数，用0表示偶数，那么，三角形变成了

1. 1
2. 1 1 1
3. 1 0 1 0 1
4. 1 1 0 1 0 1 1
5. 1 0 0 0 1 0 0 0 1
6. 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1

这个三角形太大了，画不下，有兴趣的可以自己画一下。 然后非常明显的，看看每一行的前几个数，从第三行开始，分别是：

• 10
• 110
• 10
• 1110
• 10
• 110
• 10
• 1110

。。。。。

好了，规律很明显吧。至于这个规律的证明，我想到了一个绝妙的证明，只是这地方太小了，写不下来，哈哈哈哈。。。

既然有这规律，那程序相当简单了。。。

1. int run(int n)
2. {
3. if(n<2)
4. return -1; // 1行和2行
5. if(n%2==1)
6. return 2; // 10的情况
7. if(n%4==0)
8. return 3; // 110的情况
9. else
10. return 4; // 1110的情况
11. return 1;
12. }