对阵矩阵特征向量两两正交的证明

假设矩阵 $A$是一个对称矩阵， $x_i$和 $x_j$是矩阵 $A$的任意两个特征向量， $\lambda_i$和 $\lambda_j$是与 $x_i$和 $x_j$相对应的特征值，则有：
$Ax_i=\lambda_i x_i \tag{1}$
$Ax_j=\lambda_j x_j \tag{2}$
将式（1）的两边左乘以 $x_j^T$ ，可得：
$x_j^TAx_i=\lambda_i x_j^T x_i \tag{3}$
因为矩阵 $A$是一个对称矩阵，可以对式（3）的左边做如下变换：
$x_j^TAx_i=x_j^T A^T x_i = (Ax_j)^T x_i \tag{4}$
将式（2）代入式（4），可得：
$x_j^TAx_i=(Ax_j)^T x_i = (\lambda_j x_j)^T x_i = \lambda_j x_j^T x_i \tag{5}$
结合式（3），可得：
$\lambda_i x_j^T x_i = \lambda_j x_j^T x_i \tag{6}$
即： $(\lambda_i - \lambda_j)x_j^T x_i = 0 \tag{7}$
因为 $\lambda_i \neq \lambda_j$， $x_j^T x_i$必然等于0。
由于 $x_i$和 $x_j$是矩阵 $A$的任意两个特征向量，所以命题得证。

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