转自：
①：https://blog.csdn.net/m0_37286282/article/details/78869512
②：https://www.cnblogs.com/c1299401227/p/5349727.html
错排的定义：
一段序列中一共有n个元素，那么可知这些元素一共有n!种排列方法。假如在进行排列时，原来所有的元素都不在原来的位置，那么称这个排列为错排。而错排数所指的就是在一段有n个元素的序列中，有多少种排列方式是错排。
错排公式：
递归关系：D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2)) 特别地有D(1)=0,D(2)=1；
错排公式：D(n)=(n!)[(-1)^0/0!+(-1)^1/(1!)+(-1)^2/(2!)+(-1)^3/(3!)+......+(-1)^n/(n!)]； 其中n!=n*(n-1)*(n-2)*......3*2*1 特别地有0!=1 1!=1
递推关系推导：
n个不同的元素的一个错排公式可以分作两步完成：
第一步：假设我们错排第一个元素，那么它可以从2~n的位置任意选择其中的一个，一共是有n-1种选择。
第二步：错排其余n-1个元素，也是需要分情况和种类的。因为这需要看第一步的结果，如果第一个元素落在第k个位置上，第二步就需要把k号元素进行错排，k号元素错排位置的不同将导致不同的情况会发生：
1.假设k号元素正好落在了第一个元素的位置，那么就可以将第一个元素和第k个元素完全剔除出去，因为相当于只是他们两者互换了位置，其他元素暂时还没有发生变动。留下来的n-2元素进行错排的话，那么我们就可以得到了D(n-2)种 的错排方式。
2.若k号元素不排到第一个元素的位置，我们可以暂时将现在排在k号位置的第一个元素剔除出去，生下来的就只包含k号元素和原来n-2个的元素了。这时，我们可以将原来的第一个元素的位置看做是现在k号元素的原本位置，因为k号元素不能够放在原来的位置上，所以就相当于是原来的n-2个元素和k共计n-1个元素进行完全的错排。那么一共就有D(n-1)种方法。 第二种情况希望大家仔细理解！配一张图便于理解
那么，我们有根据加法原理，完成第二步有D(n-2)+D(n-1)种方法。
根据乘法原理得到D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2)) 。递推关系解释完毕。
错排公式推导：
D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]
特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.
下面通过这个递推关系推导:
为方便起见，设D(k) = k! N(k), k = 1, 2, …, n,
则N(1) = 0, N(2) = 1/2.
n ≥ 3时，n! N(n) = (n-1) (n-1)! N(n-1) + (n-1)! N(n-2)
即 nN(n) = (n-1) N(n-1) + N(n-2)
于是有N(n) - N(n-1) = - [N(n-1) - N(n-2)] / n = (-1/n) [-1/(n-1)] [-1/(n-2)]…(-1/3) [N(2) - N(1)] = (-1)^n / n!.
因此将
N（n）-N（n-1）=（-1）^（n）/（n!）,
N(n-1) - N(n-2) = (-1)^(n-1) / (n-1)! ,
N(n-2)-N(n-3)=(-1)^(n-2)/(n-2)1，
...
...
...
N(3)-N(2)=(-1)^3/3!,
N(2) - N(1) = (-1)^2 / 2!，
相加，可得
N(n) = (-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1) / (n-1)! + (-1)^n/n!
因此
D(n) = n! [(-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1)/(n-1)! + (-1)^n/n!].
此即错排公式。